浙江省湖州市吴兴区2017-2018学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2018-01-15 类型：期末考试

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一、选择题

1. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，∠B=35°，则AC的长为（）

A、7cos35° B、7tan35° C、7sin35° D、7sin55°

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{9}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ （）

A、 $\frac{11}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{9}{7}$

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3. 抛物线 $y = 2 {(x + 4)}^{2} - 3$ 的对称轴是（）

A、直线x=4 B、直线x=－4 C、直线x=3 D、直线x=－3

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4. 若△ABC的每条边长增加各自的10%得到△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）

A、增加了10% B、减少了10% C、增加了（1+10%） D、没有改变

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5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC=8，则OD的长为（）

A、3 B、4 C、 4.5 D、5

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6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，且 $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\frac{A E}{E C} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{四边形 D B C E}} = \frac{4}{21}$

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7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧AC的长（）

A、8 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、2π D、π

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$- 1$
0
1
3
…
$y$
…
$- 3$
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（）

A、抛物线开口向上 B、抛物线与 $y$ 轴交于负半轴 C、当 $x$ ＝4时， $y$ ＞0 D、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正根在3与4之间

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9. 如图，已知抛物线 y=x²+3x−4 ，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点。如图，已知⊙O的半径为5，则抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3}$ 与该圆所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数是（）

A、24 B、23 C、22 D、21

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二、填空题

11. 布袋中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其他区别，小红从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是．

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12. 已知线段c是线段a、b的比例中项，且a=4，b=9，则线段c的长度为．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=1，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A₁B₁C的位置，点A₁刚好落在BC的延长线上，则点A从开始到结束所经过的路径长为（结果保留π）．

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14. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= $\frac{1}{2}$ ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是．

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15. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AB=3m，已知木箱高BD=1m，斜面坡角为30°，则木箱端点D距地面AC的高度为．

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16. 如图1，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的中点，DE⊥AB交AC于E，连EB、CD，线段CD与BF交于点F。若tanA= $\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{C F}{D F}$ =。如图 2，点D为直角三角形ABC的斜边AB上的一点，DE⊥AB交AC于E，连EB、CD；线段CD与BF交于点F。若 $\frac{A D}{D B}$ = $\frac{1}{3}$ ，tanA= $\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{C F}{D F}$ =。

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三、解答题：

17. 计算： $\sqrt{12} - \frac{4}{3} \sin 60^{\circ} - \tan 30^{\circ}$

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18. 如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC= 2 $\sqrt{3}$ .求证：△ACD∽△ABC.

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19. 2017年11月11日，张杰参加了某网点的“翻牌抽奖”活动。如图所示，4张牌上分别写有对应奖品的价值为10元，15元，20元和“谢谢惠顾”的字样。

(1)、如果随机翻1张牌，那么抽中有奖的概率为，抽中15元及以上奖品的概率为。

(2)、如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，用画树状图或列表法列出抽奖的所有等可能性情况，并求出获奖品总值不低于30元的概率。

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20. 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度都为6mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 α =36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

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21. 如图，已知点O为半圆的圆心，直径AB=12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD=3．

(1)、求AC的长；

(2)、求图中阴影部分的面积.

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22. 元旦前夕，湖州吴兴某工艺厂设计了一款成本10元/件的工艺品投放市场试销。试销发现，每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系可近似地看作一次函数：y=-10x+700.（利润=销售总价-成本总价）

(1)、如果该厂想要每天获得5000元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？

(2)、当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？

(3)、湖州市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

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23. 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．

(1)、当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；

(2)、设MN与AB之间的距离为x 米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

(3)、请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A，C，与y轴交于点B。已知点A坐标为(8，0)，点B为(0，8)，点D为（0，3），
tan∠DCO= $\frac{3}{4}$ ，直线AB和直线CD相交于点E。

(1)、求抛物线的解析式，并化成 y=a ( x−m ) ²+k的形式；

(2)、设抛物线的顶点为G，请在直线AB上方的抛物线上求点P的坐标，使得 S_△ABP = S_△ABG .

(3)、点M为直线AB上的一点，过点M作x轴的平行线分别交直线AB，CD于点M，N，连结DM，DN，是否存在点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

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$x$	…	$- 1$	0	1	3	…
$y$	…	$- 3$	1	3	1	…