福建省2026年中考数学真题

试卷更新日期：2026-06-25 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为0∶1，丙队与丁队的比赛结果为2∶0.若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作-1，则丙队的净胜球数应记作（）

A、-2 B、-1 C、+1 D、+2

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2026年5月24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就.飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7 900米/秒.数据7 900用科学记数法表示为（）

A、 $0.79 \times 1 0^{4}$ B、 $7.9 \times 1 0^{3}$ C、 $7.9 \times 1 0^{2}$ D、 $79 \times 1 0^{2}$

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4. 福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期.土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念.图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼.图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（）

A、主视图和左视图相同 B、主视图和俯视图相同 C、左视图和俯视图相同 D、三种视图都相同

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5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、a+b>0 B、a-b<0 C、ab>0 D、 $\frac{a}{b} < 0$

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6. 下列各点中，在函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象上的点是（）

A、(1，1) B、(1，2) C、(2，1) D、(2，2)

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7. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶.如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图.已知秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A 处，OA 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度AB=1尺.当踏板从A 处绕点O 运动到C 处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千的绳索荡过的∠AOC 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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8. 为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示.这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（）

A、7，7 B、7，7.5 C、7.5，7 D、7.5，7.5

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9. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O于点 D.若AD=CD，则tanA 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 n x$ 经过点A(3，a)，B(5，b).若a<b，且 ab<0，则n的取值可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 一组数据9，8，5，2，1，1的众数是.

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12. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C，连接AC和BC，分别取AC 和BC中点M，N，测得MN=100米，则A，B两点间的距离是米.

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13. 因式分解： $x^{2} - y^{2} =$ ．

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14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF=45°，四边形ABCD 恰好为矩形，点 E，F 分别在 BC，AE上，则∠AFD 等于度.

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15. 已知实数p，q满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,$ 则(p-1)(q-1)的值为.

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16. 由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的 $\frac{19}{20}$ 和 $\frac{9}{10} .$ 一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的 $\frac{15}{16},$ 若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的 $\frac{19}{20}$ 和 $\frac{9}{10}$ 计算，则这件金银饰品中含金克.

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三、解答题：本题共9 小题，共86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算： $\sqrt{4} + ∣ - 3 ∣ - 2^{2} .$

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18. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD=CE.
求证：AD=AE.

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19. 解不等式组： ${\begin{matrix} x - 2 > 1, ① \\ 3 x - 5 < 2 (x + 1 ） ② \end{matrix}$

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20. 如图，四边形ABCD 是矩形，AB<BC，点 E在AD的延长线上.

(1)、求作点 F，使点 F在AD 边上，且∠AFB=2∠EBC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)、在(1)的条件下，若AB=4，BC=6， DE=2，求AF 的长.

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21. 一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a₀ ， 2个标号分别为1，2的红球b₁ ， b₂ ， 1个标号为3 的白球c₃ ，这些球除颜色和标号外无其他差别.

(1)、从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率；

(2)、从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球.求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率.

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22. 如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上的一点， $∠ A D C = ∠ B C D = ∠ C E D = 9 0^{\circ},$ CE=DE.四边形A'B'CD由四边形ABCD沿CD 翻折得到，点A，B，E的对应点分别为A'，B'，E'. F是AD 延长线上的一点，且 $F E^{'} ‖ A B .$

(1)、求证：E'A'=E'F；

(2)、若 $A D = \sqrt{2}, D E = 4,$ 求A'F的长.

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23. 阅读下列材料，回答问题.

主题	探究形如 $(\sqrt{2} a + b)^{2}$ 的数的整数部分与小数部分的特征
提出问题	学过“二次根式”，我们知道许多二次根式√p为为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即 $\sqrt{p} = m + n,$ 其中m 为整数，0<n<1.如 $\sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2} - 1), 1 - \sqrt{5} = - 2 + (3 - \sqrt{5}) .$ 那么形如 $(\sqrt{2} a + b)^{2}$ 的数，其整数部分m与小数部分n各有什么特征呢?
探究发现	小华对此展开研究，其探究过程如下： $(1) (\sqrt{2} - 1)^{2} = 0 + (3 - 2 \sqrt{2});$ $(2) {(\sqrt{2} + 1)}^{2} = 3 + 2 \sqrt{2} = ① + (2 \sqrt{2} - 2);$ $(3) (2 \sqrt{2} - 2)^{2} = 0 + (12 - 8 \sqrt{2});$ $(4) {(2 \sqrt{2} + 2)}^{2} = 12 + 8 \sqrt{2} = 23 + ②;$ $(5) (3 \sqrt{2} - 4)^{2} = 0 + (34 - 24 \sqrt{2});$ $(6) (3 \sqrt{2} + 4)^{2} = 34 + 24 \sqrt{2} = 67 + (24 \sqrt{2} - 33) .$ 据此，小华提出并证明了以下命题. 命题：若整数a，b满足 $0 < \sqrt{2} a - b < 1,$ 且 $(\sqrt{2} a + b)^{2}$ 的整数部分为m，小数部分为n，则m必为奇数，且 $(\sqrt{2} a - b)^{2} = 1 - n .$
命题证明	证明：因为 $(\sqrt{2} a + b)^{2} = 2 a^{2} + 2 \sqrt{2} a b + b^{2}, (\sqrt{2} a - b)^{2} = 2 a^{2} - 2 \sqrt{2} a b + b^{2},$ 所以 $(\sqrt{2} a + b)^{2} + (\sqrt{2} a - b)^{2} = 4 a^{2} + 2 b^{2},$ 即 $(\sqrt{2} a + b)^{2} = 4 a^{2} + 2 b^{2} - (\sqrt{2} a - b)^{2} .$ 又因为 $(\sqrt{2} a + b)^{2} = m + n,$ 且0<n<1，所以 $4 a^{2} + 2 b^{2} - (\sqrt{2} a - b)^{2} = m + n .$ 又根据 $0 < \sqrt{2} a - b < 1,$ 可得 $0 < (\sqrt{2} a - b)^{2} < 1 .$ 因此，m= ③ ， n= ④ . 又因为a，b均为整数，所以 $4 a^{2} + 2 b^{2}$ 为偶数，故m必为奇数，且 $(\sqrt{2} a - b)^{2} = 1 - n .$
拓展延伸	问题1 若整数a，b满足 $1 < \sqrt{2} a - b < \sqrt{2},$ 那么 $(\sqrt{2} a + b)^{2}$ 的整数部分m是否仍为奇数?证明你的结论；问题2 若整数a，b满足 $\sqrt{k} < \sqrt{2} a - b < \sqrt{k + 1},$ 其中k为整数，且 $k \geq 2,$ ，试探究： $(\sqrt{2} a + b)^{2}$ 的整数部分m是奇数还是偶数?直接写出结论，不必证明.

(1)、补全①②③④所缺的内容；

(2)、解决问题1；

(3)、解决问题2.

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24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB=BD， ∠CBE=∠ABD=60°.

(1)、求∠E的度数；

(2)、求证：四边形AFEC 是平行四边形；

(3)、设CF交BD 于点G，且 $\frac{C G}{F G} = \frac{2}{3},$ 求 $\frac{B D}{A C}$ 的值.

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25. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c .$

(1)、若b=1，c=2，求抛物线的顶点坐标；

(2)、若抛物线上存在一点 P(x₀ ， y₀)在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点；

(3)、抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0，2)，直线y= bx+2与y=-bx-1相交于点 D，E是y轴上不与点C重合的点.若坐标平面内存在点M满足 MA=MB=MC=ME，试探究 CD和DE的数量关系，并证明.

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