安徽省2026年中考数学真题

试卷更新日期：2026-06-18 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列比 $0$ 小的数是( )

A、 $2$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $6$

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2. $《$ 科学 $》$ 杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文 $A I$ 模型“星衍”，可探测到距地球超过 $130$ 亿光年的星系，其中 $130$ 亿用科学记数法表示为( )

A、 $0.13 \times 1 0^{10}$ B、 $1.3 \times 1 0^{10}$ C、 $1.3 \times 1 0^{9}$ D、 $13 \times 1 0^{9}$

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3. 一个几何体如图水平放置，其主视图是( )

A、 B、 C、 D、

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4. 下列各式中，计算结果等于 $a^{2}$ 的是( )

A、 $a + a$ B、 $a^{3} - a$ C、 $(- a) \cdot (- a)$ D、 ${(- a)}^{6} \div {(- a)}^{3}$

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5. 已知一组数据： $1$ ， $2$ ， $9$ ， $5$ ， $2$ ， $3$ ， $6 .$ 该组数据的中位数是( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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6. 两个直角三角板如图摆放，其中 $∠ B A C = ∠ A E F = 90^{\circ}$ ， $∠ A F E = 60^{\circ}$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $A E ⊥ B C$ ，边 $B C$ 分别与 $A E$ ， $A F$ 相交于点 $M$ ， $N .$ 若 $B C = 12$ ，则 $M N =$ ( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - b x + b - a = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，则 $\frac{b}{a} =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 中，六个小正方形的边长均为 $1$ ，正方形 $A F G D$ 的各边与 $\overset{⌢}{H N M}$ 所在的圆分别相切于点 $E$ ， $M$ ， $H$ ， $N$ ． $\overset{⌢}{B H}$ ， $\overset{⌢}{B M}$ 所在圆的圆心分别是 $E$ ， $F .$ 则图中阴影部分的面积为( )

A、 $\frac{3 π}{2} - 1$ B、 $\frac{5 π}{4} - 1$ C、 $7 - \frac{3 π}{2}$ D、 $7 - \frac{5 π}{4}$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x - 1 (k \neq 0)$ 的图象分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴交于点 $A$ 和 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 在第一象限内的图象交于点 $P .$ 若 $O P = O B$ ， $\frac{P A}{A B} = \frac{3}{5}$ ，则 $m =$ ( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{25}{12}$

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10. 如图，点 $C$ ， $E$ 分别为等腰直角 $▵ A B C$ 与等腰直角 $▵ D B E$ 的直角顶点，且点 $C$ 在边 $D E$ 上． $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $F .$ 边 $A B$ 的中点为 $M$ ，线段 $M C$ ， $A C$ 分别交 $B D$ 于点 $N$ ， $H$ ，连接 $A D$ ， $A N .$ 若 $A D = D C$ ，则下列结论错误的是( )

A、 $D F = C E$ B、 $C M = \sqrt{2} D N$ C、 $C H = C N$ D、 $A N = \sqrt{2} C D$

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二、填空题：本题共4小题，共15分。

11. 因式分解： $x^{2} - 25 =$ ．

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12. 如图，点 $F$ 在正五边形 $A B C D E$ 的边 $A B$ 的延长线上，则 $∠ C D E - ∠ C B F =$ $^{\circ}$ ．

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13. 中国古代数学著作 $《$ 九章算术 $》$ 中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从 $《$ 九章算术 $》$ 中挑选出 $4$ 个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各 $2$ 个．在某次活动中，从这 $4$ 个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为．

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14. 图 $1$ 是轨道示意图，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是矩形的四个顶点， $E$ 为 $A C$ ， $B D$ 的交点， $A B = A E = 1 m .$ 机器人以 $1 m / m i n$ 的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 处发生改变．机器人从点 $A$ 出发，经过其余四点各一次后，回到点 $A$ ．

(1)、若机器人到点 $A$ 的距离 $y ($ 单位： $m)$ 关于运动时间 $x ($ 单位： $m i n)$ 的函数图象如图 $2$ 所示，则 $y$ 取最大值时， $x =$ ；

(2)、将机器人在运动过程中经过点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有种．

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

15. 计算： $|- 3| + {(- 1)}^{0} - 2^{- 1}$ ．

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四、解答题：本题共8小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 如图，在由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 $x O y$ ， $▵ A B C$ 的顶点均为格点 $($ 网格线的交点 $)$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(- 3, - 2)$ ， $(- 1, - 1)$ ， $(- 3,3)$ ．

(1)、画出 $▵ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $▵ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将线段 $A B$ 向右平移 $1$ 个单位长度，再向上平移 $3$ 个单位长度，得到线段 $A_{2} B_{2}$ ，画出线段 $A_{2} B_{2}$ ；

(3)、以点 $B$ 为旋转中心，将线段 $B C$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ ，得到线段 $B C_{2}$ ，直接写出点 $C_{2}$ 的坐标．

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17. 广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个小矩形组成，如图所示． $C$ 的面积比 $A$ 的面积的 $2$ 倍多 $2 m^{2}$ ， $D$ 的面积比 $B$ 的面积的 $3$ 倍少 $3 m^{2} .$ 设 $A$ 的面积为 $x m^{2}$ ， $B$ 的面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、 $C$ 的面积为 $m^{2} ($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$ ， $D$ 的面积为 $m^{2} ($ 用含 $y$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、若 $A$ 的面积与 $B$ 的面积之和为 $10 m^{2}$ ， $C$ 的面积比 $D$ 的面积少 $5 m^{2}$ ，求 $x$ 和 $y$ ．

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18. 某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个等级．现随机抽取 $n$ 位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．

已知抽取的样本中， $E$ 等级的人数为 $2$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、扇形统计图中 $a =$ ；

(2)、 $n =$ ；

(3)、每位学生的测试结果按下表进行评分：
等级
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
分值
$5$
$4$
$3$
$2$
$1$
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于 $3.5$ ，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．

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19. 湖中有两个小岛，分别用点 $A$ ， $B$ 表示， $B$ 在 $A$ 的北偏东 $37^{\circ}$ 方向上．为了测量 $A$ ， $B$ 间的距离，综合实践小组在观测点 $C$ 处测得 $A$ 在 $C$ 的正北方向，沿着北偏东 $56^{\circ}$ 方向行走至另一观测点 $D$ ，测得 $A$ 在 $D$ 的正西方向， $B$ 在 $D$ 的北偏西 $53^{\circ}$ 方向上，平面示意图如图所示．已知 $C$ ， $D$ 间的距离为 $660 m$ ，求 $A$ ， $B$ 间的距离 $($ 精确到 $0.1 m) .$ 参考数据： $s i n 56^{\circ} \approx 0.83$ ， $c o s 56^{\circ} \approx 0.56$ ， $s i n 53^{\circ} \approx 0.80$ ， $c o s 53^{\circ} \approx 0.60$ ， $s i n 37^{\circ} \approx 0.60$ ， $c o s 37^{\circ} \approx 0.80$ ．

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，点 $A$ ， $B$ 分别在 $▱ C D E F$ 的边 $C D$ ， $C F$ 上， $D E$ ， $E F$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $M$ ， $N$ ．

(1)、求证：四边形 $O M E N$ 为正方形；

(2)、若 $C D = 9$ ， $A B = 10$ ，求 $C F$ 的长．

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21. 项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ 是勾股数，记为 $(a, b, c)$ ．
设 $m$ ， $n$ 为正整数，且 $m > n$ ，因为 ${(m^{2} - n^{2})}^{2} + {(2 m n)}^{2} = {(m^{2} + n^{2})}^{2}$ ，所以 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ 为勾股数．本项目只研究形如 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ 的勾股数．
【规律探究】
分别对 $m$ ， $n$ 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：

$m$

$n$
勾股数 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$
序号

$2$

$1$

$(3,4, 5)$

$1$

$3$

$1$

$(8,6, 10)$

$2$

$2$

$(5,12,13)$

$3$

$4$

$1$

$(15,8, 17)$

$4$

$2$

$(12,16,20)$

$5$

$3$

$(7,24,25)$

$6$

$\dots$

$\dots$

$\dots$

$\dots$
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：

(1)、 $m = 5$ ， $n = 1$ 对应的勾股数是( ，， )序号为；

(2)、勾股数 $(35,12,37)$ 对应的 $m =$ ， $n =$ ；

(3)、序号为 $15$ 的勾股数是( ，， )

(4)、【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从 $1$ 依次增大到 $6$ 的过程中，勾股数中 $m^{2} + n^{2}$ 的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从 $6$ 依次增大到 $16$ 的过程中， $m^{2} + n^{2}$ 的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．

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22. 如图 $1$ ，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 2 A D$ ，边 $C D$ 的中点为 $M$ ，连接 $A M$ ．

(1)、求证： $∠ C = 2 ∠ A M D$ ；

(2)、如图 $2$ ， $M N ⊥ B C$ ，垂足为 $N .$ 点 $P$ 在线段 $A M$ 上， $P E ⊥ C D$ ， $P F ⊥ B C$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ．
①求证： $P F - P E = M N$ ；
②若 $P F = 4 P E$ ，求 $\frac{A P}{P M}$ 的值．

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23. 已知抛物线 $y = \frac{3}{a^{2}} x (2 a - x) (a > 0)$ ．

(1)、求抛物线顶点的纵坐标；

(2)、点 $A (x_{1}, \frac{3}{2})$ ， $B (x_{2}, \frac{3}{2})$ ， $(x_{1} < x_{2})$ 都在抛物线上．
①求 $\frac{x_{1}}{a}$ 的值；
②设 $a$ 为正整数，线段 $A B$ 上横坐标为整数的点的个数为 $m$ ，请比较 $m$ 与 $2 a - 2$ 的大小，并说明理由．

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$m$	$n$	勾股数 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$	序号
$2$	$1$	$(3,4, 5)$	$1$
$3$	$1$	$(8,6, 10)$	$2$
$3$	$2$	$(5,12,13)$	$3$
$4$	$1$	$(15,8, 17)$	$4$
	$2$	$(12,16,20)$	$5$
	$3$	$(7,24,25)$	$6$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

等级	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
分值	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$