北京市东城区2016届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-01-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若关于的 $x$ 方程 $x^{2} + 3 x + a = 0$ 有一个根为 -1，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $4$

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2. 二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

A、至少有1个球是黑球 B、至少有1个球是白球 C、至少有2个球是黑球 D、至少有2个球是白球

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4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cosA的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5. 若二次函数y=x²＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x²＋bx =5的解为（）

A、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 5$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 5$ D、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 5$

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6. 如图，在△ABC中， $\frac{A E}{B D}$ ，，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7. 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4， ∠P=30°，则弦AB的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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8. 如图，点A， B， C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为（）

A、70° B、90° C、110° D、120°

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9. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为 $x$ ，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）

A、 $B D$ B、 $O D$ C、 $A D$ D、 $C D$

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二、填空题

10. 请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根．此方程可以是．

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11. 将抛物线y=x²﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为．

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12. 已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD= $\sqrt{3}$ ，则⊙O半径的长为．

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13. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为米．

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14. 如图，已知A（ $2 \sqrt{3}$ ，2），B（ $2 \sqrt{3}$ ，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′O B′，则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题

15. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如：下问题
尺规作图：过圆外一点作园的切线
已知：圆O和点P
求作：过点P的圆O的切线
小涵的主要作法如下：
如图：①连接OP，作线段OP的中点A
②以A为圆心，OA长为半径作圆，交圆O于点B，C
③作直线PB和PC
所以PB和PC就是所求的切线
老师说：“小涵的作法正确．”
请回答：小涵的作图依据是．

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16. 解方程： $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ ．

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17. 如图，△ABC中，D为BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6， BD=4，求CD的长．

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18. 已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、结合图象写出y＜0时，对应的x的取值范围；

(3)、设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．

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19. 列方程或方程组解应用题：
某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？

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20. 如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．

(1)、画△A′B′C′，使它和△ABC关于点O成中心对称；

(2)、请在方格网中标出所有的D 点，使以点A，O，C′，D为顶点的四边形是平行四边形．

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21. 石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头” ．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：

(1)、直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；

(2)、请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．

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22. 如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

(1)、求证：DF是⊙O的切线；

(2)、若 $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，半径OA=3，求AE的长．

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23. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度．你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．

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24. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线．
求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ ．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
∴ $∠ 1 = ∠ E ， ∠ 2 = ∠ 3$ ． ①
$∵$ AD是角平分线，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ ．
$∴$ $∠ 3 = ∠ E$ ．
$∴ A C = A E$ ． ②
又 $∵ A D / / C E$ ，
$∴ \frac{A B}{A E} = \frac{B D}{D C}$ ． ③
$∴$ $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ ．

(1)、上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）

(2)、用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；

(3)、我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△ABD和△ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．

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25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）．

(1)、求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；

(2)、若AB=2，求此抛物线的解析式．

(3)、已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

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26. 已知：在等边△ABC中， AB= $2 \sqrt{3}$ ，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD₁E₁ ，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE₁与AD₁的交点为P．

(1)、判断△BDE的形状；

(2)、在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE₁与AD₁的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；

(3)、点P到BC所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）

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27. 已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y₁ ， y₂ ，都有点（x，y₁）、（x，y₂）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数．例如， $y_{1} = \frac{1}{2} x$ 和 $y_{2} = \frac{3}{2} x$ 为关于y=x的对称函数．

(1)、判断：① $y_{1} = 3 x$ 和 $y_{2} = - x$ ；② $y_{1} = x + 1$ 和 $y_{2} = x - 1$ ；③ $y_{1} = x^{2} + 1$ 和 $y_{2} = x^{2} - 1$ ，其中为关于y=x的对称函数的是（填序号）．

(2)、若 $y_{1} = 3 x + 2$ 和 $y_{2} = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）为关于y=x的对称函数．
①求k、b的值．
②对于任意的实数x，满足x>m时， $y_{1} > y_{2}$ 恒成立，则m满足的条件为．

(3)、若 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 和 $y_{2} = x^{2} + n$ 为关于y=x的对称函数，且对于任意的实数x，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，请结合函数的图象，求n的取值范围．

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