【高考真题】2026年华侨、港澳、台联考高考数学试卷

试卷更新日期：2026-06-15 类型：高考真卷

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一、单选题：本题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $M = {- 2, - 1,1, 2}$ ， $N = {x | | x | > 1}$ ，则 $M \cap N =$ ( )

A、 ${- 2,2}$ B、 ${- 1,1}$ C、 ${x | 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x < - 1}$

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2. $| \frac{i}{1 + i} | =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知 $x = 2$ 是函数 $f (x) = a x - l n (x - 1)$ 的极值点，则( )

A、 $f (x)$ 有极大值 $- 2$ B、 $f (x)$ 有极小值 $- 2$ C、 $f (x)$ 有极大值 $2$ D、 $f (x)$ 有极小值 $2$

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 2$ ， $a_{4} = 4$ ，则 $S_{6} =$ ( )

A、 $64$ B、 $\frac{127}{2}$ C、 $32$ D、 $\frac{63}{2}$

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5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

A、 $y = x^{3} - 2$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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6. 若直线 $y = k x + 10$ 与圆 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ 相切，则 $k =$ ( )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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7. 已知向量 $\vec{m} = (c o s θ - \sqrt{2}, s i n θ + \sqrt{2})$ ，则 $| \vec{m} |$ 的最大值是( )

A、 $9$ B、 $3$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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8. 甲、乙等 $10$ 名选手随机分为两组参加比赛，每组 $5$ 名，则甲、乙在同一组的概率为( )

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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9. 已知 $l o g_{a} \frac{2}{3} > 1 (a > 0, 且 a \neq 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, 1)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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10. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点 $(2 \sqrt{3}, 0)$ 到其渐近线的距离为 $2$ ，则 $C$ 的方程为( )

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。

11. 设函数 $f (x) = x + e^{x - 3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线与直线 $2 x - y + 5 = 0$ 平行，则 $x_{0} =$ ．

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12. 若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上纵坐标为 $2$ 的点到其焦点的距离为 $4$ ，则 $p =$ ．

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13. 函数 $f (x) = 1 - s i n x - c o s 2 x$ 的最小值是．

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14. 已知随机变量 $X$ 的所有可能的取值为 $- 1$ ， $0$ ， $2$ ，且 $P (X = 0) = \frac{1}{2}$ ， $E (X) = 0$ ，则 $D (X) =$ ．

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15. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高都是 $2$ ，点 $P$ 在射线 $C C_{1}$ 上，且二面角 $P - A B - C$ 为 $60 °$ ，则平面 $P A B$ 截该棱柱所得截面的面积为．

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三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} a_{2} = 6$ ， $a_{2} a_{3} = 12$ ，求 $S_{n}$ ．

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17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $5 (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 8 a b$ ．

(1)、求 $t a n C$ ；

(2)、设 $t a n B = \frac{1}{2}$ ， $△ A B C$ 的最长边的边长为 $2$ ，求其最短边的边长．

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，右顶点为 $P (2,0)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 为 $C$ 上两点，直线 $P M$ 的斜率为 $2$ ， $P M ⊥ P N$ ，求 $△ P M N$ 的面积．

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19. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 1$ ， $g (x) = x^{3} - a x^{2} + x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若过点 $(0,2)$ 可作曲线 $y = g (x)$ 的三条切线，求 $a$ 的取值范围．

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