【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学试卷

试卷更新日期：2026-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 样本数据6，8，4，5，12的中位数为（　　）

A、5 B、6 C、8 D、9

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2. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $2 \vec{a} + y \vec{b} = x \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（　　）

A、 $x = 2$ ， $y = - 3$ B、 $x = - 2$ ， $y = 3$ C、 $x = 2$ ， $y = 3$ D、 $x = - 2$ ， $y = - 3$

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3. 已知集合 $A = {s i n \frac{7 π}{6}, c o s \frac{5 π}{3}, t a n \frac{5 π}{4}}$ ， $B = {- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}}$ B、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1}$ C、 ${- \frac{1}{2}, 1}$ D、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$

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4. 曲线 $y = 5 x + 8 l n x$ 在点 $(1, 5)$ 处的切线方程为（　　）

A、 $y = 3 x + 2$ B、 $y = 5 x$ C、 $y = 8 x - 3$ D、 $y = 13 x - 8$

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5. 已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $C_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y (p_{2} > 0)$ 均经过点 $(4, 8)$ ，则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为（　　）

A、12 B、 $4 \sqrt{5}$ C、6 D、 $\frac{\sqrt{65}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{e^{x} + a}$ 的最大值为1，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深厚的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_{i} (i = 1, 2, ⋯, 12)$ ，其中 $a_{1} = 1, a_{2} = a_{3} = 3; a_{4} = a_{5} = 5$ ，且 $a_{6}, a_{7}, ⋯, a_{12}$ 是一个首项为7，公差为2的等差数列.将 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{12}$ 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列，则 $d =$ （　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 设 $U = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{i} \in {- 2, - 1, 1, 2}, i = 1, 2, 3}$ 为空间中64个点构成的集合，点 $P (1, 1, 1)$ ，记样本空间 $Ω = ∁_{U} {P}$ .从 $Ω$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $Ω$ 中的每个点 $A (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ，令 $X (A) = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ .则 $X$ 的数学期望为（　　）

A、 $- \frac{1}{21}$ B、 $- \frac{1}{63}$ C、 $0$ D、 $\frac{1}{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.

9. 设 $z = 3 + 2 i$ ，则（　　）

A、 $\overset{}{\bar{z}} = 3 - 2 i$ B、 $| z | = 5$ C、 $z^{2} = 5 + 12 i$ D、 $\frac{z + 3}{z - i} \in R$

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10. 在空间中， $A$ ， $B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为2，动点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离为1.若二面角 $C - A B - D$ 为 $6 0^{∘}$ ，则（　　）

A、 $∠ C A D \geq 6 0^{∘}$ B、 $C D \geq \sqrt{3}$ C、当 $A B ⊥ C D$ 时， $C D ⊥$ 平面 $A B D$ D、当 $A B ⊥$ 平面 $A C D$ 时， $A C ⊥ A D$

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11. 已知圆 $C_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{3} : x^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x + b$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 均有两个交点，且 $l$ 被 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ 截得的弦长分别为 $s_{1}$ ， $s_{2}$ ， $s_{3}$ ，则（　　）

A、 $k$ 可以取任意实数 B、满足 $s_{1} = s_{2} = s_{3}$ 的直线 $l$ 共有3条 C、满足 $s_{1} + s_{2} + s_{3} = 3$ 的直线 $l$ 多于3条 D、当 $b = 0$ 时， $s_{1} + s_{2} + s_{3}$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 双曲线 $5 x^{2} - 6 y^{2} = 1$ 的离心率为.

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13. 已知 $f (x) = 2 s i n (a x + θ)$ $(a \in Z, 0 \leq θ < 2 π)$ 是偶函数， $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增，则 $θ =$ ， $f (\frac{2 π}{3}) =$ .

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14. 设实数 $q$ 满足：存在数列 ${a_{n}}$ ，使得对于任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{3 n} = n^{2} + n$ ，且 ${a_{n}}$ 中有某连续9项 $a_{k}, a_{k + 1}, ⋯, a_{k + 8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $q$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = B C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、设 $C C_{1} = 2$ ，直线 $D E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ ，求直线 $D E$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离.

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16. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、设 $D$ ， $E$ 两点满足： $D$ 在 $B A$ 的延长线上， $D E ∥ B C$ ， $A E ⊥ A C$ .若 $D E = \sqrt{6}$ ，求 $C E$ .

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17. 设整数 $N \geq 2$ ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次.当且仅当投中1次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，各次投中与否相互独立.记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数.

(1)、当 $N = 4$ ， $p = \frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；

(2)、设 $k$ ， $m$ 均为自然数.
（i）当 $k \leq N - 1$ 时，求 $P (X > k)$ ；
（ii）当 $k + m \leq N - 1$ 时，证明： $P (X > k + m ∣ X > k) = P (X > m)$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于0的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $P O$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$ .
（i）若 $△ P Q R$ 的面积是 $△ P F O$ 的面积的3倍，求 $l$ 的方程；
（ii）求 $t a n ∠ P Q R$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ .对任意 $x_{0} \in R$ ，定义集合 $D (x_{0}) = {d \in R ∣ f (x_{0} + d) > f (x_{0})}$ .

(1)、若当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，求 $D (- 1)$ ；

(2)、设 $f (x)$ 满足：①若 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $D (x_{2}) \subseteq D (x_{1})$ ；②当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f （ 0 ）$ .
（i）证明： $f （ 0 ） \geq 1$ ；
（ii）证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + ∞)$ 单调递增.

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