广东佛山市顺德区李兆基中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

试卷更新日期：2026-05-15 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1. 从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（）

A、7条 B、12条 C、64条 D、81条

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2. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2, a_{5} = 10$ ，则 $a_{8} =$ （）.

A、 $12$ B、 $6$ C、 $20$ D、 $50$

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3. ${(\frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、60 B、120 C、160 D、240

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4. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $x = - 2$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, \frac{1}{2})$ 上单调递减 C、 $x = \frac{1}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一个极大值点 D、 $f (- 1)$ 是函数 $f (x)$ 的最大值

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5. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2}, a_{6}$ 是方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 两根，若 $a_{3} a_{5} = 3 a_{4}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 3$ C、3 D、9

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6. 已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在 $x \in (0, 2 π)$ ，使得 $f (x) \leq t$ 成立，则实数 $t$ 的最小值是（）

A、 $- π$ B、 $2 π$ C、 $- 1$ D、 $1$

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7. 记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ，且 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{n}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} + 1$ B、 $4 \sqrt{10} + 1$ C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{15}{2}$

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8. 已知 $a = \frac{7}{8}, b = e^{- \frac{1}{7}}, c = 1 + ln \frac{8}{9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题的四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分）

9. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3}$ ， $\frac{3}{2} a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 31$ ，则（）

A、 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 5}$ B、 $a_{n} = 2^{n + 1}$ C、 $S_{n} = 32 - \frac{1}{2^{n - 5}}$ D、 $S_{n} = 2^{n + 4} - 16$

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10. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）

A、若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B、若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C、若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D、若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值为0 B、 $f (x)$ 过 $(0, 0)$ 点的切线方程为 $y = \frac{x}{e}$ C、 $f (x) = \frac{3}{e^{2}}$ 有三个实根 D、 $g (x) = f (x) - a x$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $x_{2}^{2} g (x_{1}) < x_{1}^{2} g (x_{2})$ 恒成立，则a的取值范围是 $a \geq \frac{4}{e^{2}}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 若 ${(3 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 $x$ 的项的系数为．

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ，将 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前5项和等于．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (\ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = - 2$ ， ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $6$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值和最小值.

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17. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象（不用说明理由）；

(2)、求证： $\frac{f (x) + e^{x}}{x^{2}} > ln x - x + 3$ ．

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18. 记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 S_{n} + a_{n} = 2 n + 2$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} - 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}, e$ 为自然对数的底数）.

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