广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学

试卷更新日期：2026-05-09 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数 $z = 2 + i$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2i D、 $- 2 i$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、3

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3. 已知 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是直角三角形，如图所示，其中 $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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4. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{3} \in C$ ， $z_{1} z_{3} = z_{2} z_{3}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、 $z_{1} + z_{2} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$

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5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为 $π 、 4 π$ ，体积为 $7 π$ ，则该圆台的外接球表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $28 π$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、3

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7. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B = 2 B C = 2 C D = 2 A D = 4$ ，点 $M$ 为边 $C D$ 上的动点，若 $∠ A M B = α$ ，则 $cos α$ 的范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{1}{7}, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{1}{7}]$ D、 $[- \frac{1}{7}, 0]$

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8. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A、63颗 B、126颗 C、378颗 D、504颗

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $4 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π R^{2}$ C、圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D、三个几何体的表面积中，球的表面积最小

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10. 设复数z满足 $|z - i| = 1$ ，则以下结论正确的是（）．

A、z在复平面上对应的轨迹是圆 B、 $|z|$ 的最大值为2 C、 $|z|$ 的最小值为0 D、复数z的虚部取值范围是 $[- 1, 1]$

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11. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ，若 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ，则（）

A、 $S_{△ A C D} = 3 S_{△ A B D}$ B、 $3 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ C、 $\vec{C A}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量 D、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 8$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.，

12. 定义运算 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ．若复数 $x = \frac{1 - i}{1 + i}$ ， $y = |\begin{array}{r} 4 i & x i \\ 2 & x + i \end{array}|$ ，则 $| x | =$ ， $y =$ ．

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13. 如图， $A B$ 为半圆的直径，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点 $M$ 为线段 $A B$ 上的一动点（含端点 $A$ 、 $B$ ）．若 $A B = 2$ ，则 $|\vec{A C} + \vec{M B}|$ 的取值范围是

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14. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长 $2 cm$ ，外径长 $3 cm$ ，筒高 $4 cm$ ，中部是棱长为 $3 cm$ 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 ${cm}^{3}$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，求作向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ .
（2）设两个非零向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ .
①若 $k \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 共线，求实数 $k$ 的值；
②求证： $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 c \sin C = (3 a + 2 b) \sin A + (3 b + a) \sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - 8$ ，求 $c$ 的最小值及 $△ A B C$ 的面积.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \sin x \cdot \cos (x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期、单调增区间、对称中心；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、当 $x \in (0, m)$ 时，方程 $f (x) = - 1$ 有3个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = - 2 \sin^{2} x + 2 \cos x + t$ ，其中t为常数.

(1)、当 $x \in [- \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数t的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $(- π, - \frac{π}{2})$ 上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明： $\cos m > \sin n$

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19. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 3$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > - 3$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明： $F (x) = f (x) + 3$ 为奇函数；

(2)、求证： $f (x)$ 在R上是增函数；

(3)、若 $f (1) = 2$ ，求不等式 $f (x^{2} + x) + f (1 - 2 x) > 9$ 的解集．

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