广东广州市第十三中学2026届高三考前适应性训练数学试题

试卷更新日期：2026-06-01 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $U = R$ ， $A = \{x | y = \lg (x - 2)\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(0, 2]$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. 若复数z满足 $(z + i) (1 - 2 i) = 5$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 0$ ， $S_{6} = 2 S_{3} - 12$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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4. 已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 3$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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5. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（）

A、 $a = 0.05$ B、评分的众数估值为70 C、评分的第25百分位数估值为67.5 D、评分的平均数估值为76

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6. 某空间站由 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 $A$ 舱，则不同的安排方法的种数为（）

A、35 B、36 C、42 D、50

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7. 设 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{2} x| (0 < x \leq 2) \\ sin (\frac{π x}{4}) (2 < x < 10) \end{cases}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $\frac{(x_{3} - 2) (x_{4} - 2)}{x_{1} x_{2}}$ 的范围是（）

A、 $(0, 12)$ B、 $(4, 16)$ C、 $(9, 21)$ D、 $(15, 25)$

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8. 已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点的直线与该抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 12$ ，若 $△ O A B$ 面积为 $4 \sqrt{6}$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 下列命题正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{6}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{6} - 1$ 的方差为4 B、若 $P (A) = 0.6$ ， $P (B ∣ A) = 0.5, P (B ∣ \bar{A}) = 0.2$ ，则 $P (B) = 0.38$ C、在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{n}, y_{n})$ ， ( $n \geq 2$ ， $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 不全相等)的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}), (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 上，则这组样本数据的线性相关系数为 $- \frac{1}{2}$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $z = ln y$ ，求得经验回归方程为 $\hat{z} = 4 x + 0.3$ ，则 $c, k$ 的值分别是 $e^{0.3}$ 和4

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象满足以下特征：图象经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，并且在 $y$ 轴右侧的第一个零点为 $\frac{π}{9}$ ，第一个最低点为 $(\frac{5 π}{18}, - 2)$ ，则下列有关函数 $f (x)$ 及其性质的描述正确的是（）

A、 $φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{18}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{18}$ 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象 D、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[\frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 k π}{3}] (k \in Z)$

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11. 在边长为 $3$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $M$ 在棱 $A D$ 上，动点 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，满足 $M N ⊥ B D_{1}$ ．以下对 $M N$ 运动过程的描述，正确的是（）

A、存在 $M N$ ，满足 $M N ⊥ D_{1} A_{1}$ B、存在 $M N$ ，使 $M N$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点 $C$ 到平面 $M N D_{1}$ 的距离为定值 D、四面体 $M N D_{1} A_{1}$ 的体积为定值 $\frac{9}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 曲线 $y = 3^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是.

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13. 若 $\vec{a} = (λ, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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14. 已知点 $P ､ Q$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 和圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的两个动点，且点 $A (2, 1)$ ，则 $|P A| + |P Q|$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点， $O A ⊥ O B$ ， $O A = O B = 2$ ，记 $∠ B A P = θ$ ．

(1)、当 $θ = 15 °$ 时，求OP的长；

(2)、当 $△ P A O$ 面积最大时，求 $θ$ ．

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16. 如图 $(1)$ ，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，过 $A, B$ 分别作 $A E ⊥ C D$ ， $B F ⊥ C D$ ，垂足分别 $E ， F . A B = A E = 2$ ， $C D = 5$ ，已知 $D E = 1$ ，将梯形 $A B C D$ 沿 $A E, B F$ 同侧折起，得空间几何体 $A D E -$ $B C F$ ，如图 $(2)$ ．
$($ 1 $)$ 若 $A F ⊥ B D$ ，证明： $D E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；
$($ 2 $)$ 若 $D E / / C F$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，线段 $A B$ 上存在一点 $P$ ，满足 $C P$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{20}$ ，求 $A P$ 的长．

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17. 设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，公比大于 $0$ ，已知 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = 4 a_{2} + 3$ .
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} 1, & n 为奇数, \\ b_{\frac{n}{2}} & n 为偶数, \end{array}$ 求 $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + \dots + a_{2 n} c_{2 n} (n \in N^{*})$ .

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18. 已知函数 $f (x) = a x - ln x - 2$ ．

(1)、当 $a \leq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 在区间 $(3, 4)$ 内存在唯一的零点；

(3)、若对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $x ln x + x > k (x - 1)$ ，求整数 $k$ 的最大值．

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19. 双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l : y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

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