广东河源市龙川县第一中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-04 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、2 B、6 C、8 D、12

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2. 已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $3 a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $2 a_{2}$ 成等差数列，则 $q =$ （）

A、 $- 1$ B、3 C、 $- 1$ 或3 D、1.或 $- 3$

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3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 n^{2}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、18 C、20 D、25

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4. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{5}$ 展开式中含x项的系数是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5. 函数 $f (x) = x - \frac{1}{2} e^{x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (2) x^{2} + x - 3$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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7. 现有 $2$ 名男同学和 $2$ 名女同学站成一排合影，则 $2$ 名女同学不相邻的站法种数是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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8. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ 对 $x \in [0, 1]$ 恒成立， $A$ ， $B$ 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ B、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ C、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$ D、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = - 80$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 1$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = 121$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + b^{2} (b < 0)$ 在 $x = - 1$ 处有极值，且极值为8，则（）

A、 $f (x)$ 有三个零点 B、 $b = c$ C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $3 x + y + 4 = 0$ D、函数 $y = f (x) - 2$ 为奇函数

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11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、 $F A^{'} ⊥ F B^{'}$ B、若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线（其中 $O$ 为坐标原点） D、 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} = 4 |A F| |B F|$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，则 $E$ 的长轴长为．

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13. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 2, n 为奇数 \\ a_{n} + 3, n 为偶数 \end{array}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前40项和为.

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四、解答题：本题共9小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 5$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式和前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和公式 $T_{n}$ ．

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16. 如图，在正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $B D_{1} = 6$ ，求点 $B$ 到平面 $A E C$ 的距离.

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17. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、试判断函数 $f (x)$ 的单调性.

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18. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $3 x^{2} - y^{2} = λ (λ > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时， $△ A B F_{1}$ 面积为12．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断 $\frac{| D F_{2} |}{| A B |}$ 是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x^{2} (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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