广东深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

试卷更新日期：2026-05-03 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，若 $a_{3} = 2 a_{2}, a_{4} = 6$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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3. 若函数 $f (x) = e^{x} + x$ 的图象与直线 $2 x - y + m = 0$ 相切，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、2

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4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（）种.

A、27 B、36 C、54 D、60

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5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（）种分配方案

A、90 B、120 C、360 D、540

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7. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（）

A、0.8 B、 $\frac{137}{160}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = (x - b) (e^{x} - a) (a > 0)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为（）

A、 $e^{- 2}$ B、 $e^{- 1}$ C、 $e$ D、 $e^{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（）
$X$
1
2
4
5
$P$
0.2
0.35
$m$
0.3

A、 $m = 0.15$ B、 $E (X) = 2.9$ C、 $E (3 X) = 9$ D、 $D (X) = 2$

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左､右焦点为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 右支上一动点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = - 1$ 有相同的渐近线 B、若 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $18 + 2 \sqrt{13}$ C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若 $M$ 为圆 $E : {(x + \sqrt{13})}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，则 $|P M| - |P F_{2}|$ 的最大值为7

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11. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设 $r$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，任取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} f (x_{0}))$ 处的切线为 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线为 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值.一般地，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{n,} f (x_{n})) (n \in N)$ 处的切线为 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 $x_{n}$ 与 $x_{n + 1}$ 的近似值相等时，该近似值即作为函数 $f (x)$ 的一个零点 $r$ 的近似值.对于函数 $f (x) = x^{3} - 3$ ，用该方法近似计算方程 $f (x) = 0$ 的根 $r$ ，取初始近似值为 $x_{0} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x_{1} = \frac{5}{3}$ B、直线 $l_{n + 1}$ 的方程为 $y = 3 x_{n}^{2} \cdot x - 2 x_{n}^{3} + 3$ C、 $x_{n + 1} = \frac{2}{3} x_{n} + \frac{1}{x_{n}^{2}}$ D、对任意非负整数 $n, \frac{4}{3} x_{n} + x_{n + 1} \geq 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + b x$ $(a, b \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值3，则 $a + b =$ .

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13. 已知 $(x + a y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为0，则实数 $a$ 的值为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值.

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15. 已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式有 $7$ 项.

(1)、求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；

(2)、求该展开式中含 $x^{7}$ 的项；

(3)、求该展开式中系数最大的项.

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16. 定义函数 $f (x) = a_{1} x^{n} + a_{2} x^{n - 1} + a_{3} x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x (n \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“生成函数”，且 $f (1) = \frac{n^{2} + n}{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $f (\frac{1}{2})$ ．

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17. 甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题 $A$ 和 $B$ ，乙同学做试题 $C$ ，已知甲同学做对试题 $A$ 的概率为 $0.6$ ，做对试题 $B$ 的概率为 $0.4$ ，同时做对试题 $A$ 和 $B$ 的概率为 $0.3$ ；乙同学做对试题 $C$ 的概率为 $0.5$ ，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.

(1)、求甲同学做对试题 $A$ 没有做对试题 $B$ 的概率；

(2)、求甲同学在没有做对试题 $A$ 的条件下做对试题 $B$ 的概率；

(3)、若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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18. 用 $f^{'} (x)$ 表示函数 $f (x)$ 的导函数，若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $A$ 函数；若对 $f (x)$ 定义域内任意不相等的两个数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ （或都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ）成立，则称函数 $f (x)$ 为 $B$ 函数.

(1)、证明：若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (x)$ 为 $A$ 函数；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数），问 $f (x)$ 是 $A$ 函数还是 $B$ 函数？证明你的结论.

(3)、若 $g (x) = \frac{e^{x}}{x} - ln x + x - a$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $x_{1} x_{2} < 1$ .

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$X$	1	2	4	5
$P$	0.2	0.35	$m$	0.3