广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：期中考试

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一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）

1. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (2 - 3 i) = 4 + i^{2026}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n, m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ C、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m, n$ 是异面直线 D、若 $α ∥ β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ∥ n$ 或 $m, n$ 是异面直线

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3. 向量 $\vec{a} = (3, t)$ ， $\vec{b} = (6, |\vec{a}|)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $t =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、3 D、±3

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4. 如图， $△ A B O$ 的斜二测直观图是 $△ A^{'} B^{'} O^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, ∠ B^{'} O^{'} y^{'} = 90^{\circ}$ ，则 $△ A B O$ 的面积是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 已知非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = |\vec{m} + \vec{n}|$ ，则向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{n}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{n}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{n}$

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6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， P为线段 $B C_{1}$ 上一点，Q为平面 $A B C D$ 内一点，则 $D_{1} P + P Q$ 的最小值是（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）

9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别是棱 $B B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B C_{1} //$ 平面 $A E D_{1}$ B、 $F G //$ 平面 $A E D_{1}$ C、点 $C_{1}$ 在平面 $A E D_{1}$ 内 D、点 $F$ 在平面 $A E D_{1}$ 内

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10. 点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点O为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} - \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} - \frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|}) = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的内心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的垂心 D、在 $△ A B C$ 中，设 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，那么动点O的轨迹必通过 $△ A B C$ 的外心

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11. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a (c o s A c o s B - s i n C c o s C) = (c s i n C - b c o s A) c o s A ，$ 则下列说法正确的是（）

A、a可能是最大边 B、b可能是最大边 C、a可能是最小边 D、c可能是最小边

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三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ； $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ．

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13. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30^{\circ}$ ， $∠ B D C = 105^{\circ}$ ， $C D = 32 m$ ，在 $C$ 点测得塔顶A的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔的总高度为米．

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14. 如图，棱长为2的正方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ 的中点，在 $E$ ， $F$ ， $C_{1}$ 处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为.

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四、解答题（本大题共5个小题，共77分）

15. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} b = 2 a sin B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = c + 1, a = \sqrt{7}$ ，求边 $B C$ 上的高 $A D$ 的长.

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16. 已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小.

(2)、求 $|3 \vec{a} + 2 \vec{b}|$ .

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ；点E在线段 $P D$ 上，且 $P E = 1$ ．

(1)、设平面 $P B C \cap$ 平面 $P A D = l$ ，证明： $B C / / l$ ；

(2)、证明： $A E ⊥ P C$ ；

(3)、线段 $C A$ 上是否存在点M，使得 $E M / /$ 平面 $P B C$ ?若存在，请证明，并求出 $A M$ 的长；若不存在，请说明理由．

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18. 如图1所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，满足 $3 \vec{C D} = \vec{D B}$ ， $G$ 是线段 $A B$ 上的点，线段 $C G$ 与线段 $A D$ 交于点 $O$ .

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求实数 $x, y$ 的值；

(2)、若 $3 \vec{A G} = 2 \vec{G B}$ ，且满足 $\vec{A O} = t \vec{A D}$ ，
①求实数 $t$ 的值；
②如图2，过点 $O$ 的直线与边 $A B, A C$ 分别交于点 $E, F$ ，设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，（ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ），求 $λ + μ$ 的最小值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且点 $D$ 是线段 $B C$ 上的一点．已知 $\frac{c}{2} = a \cos C - b$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $B D = 3 A D = 3 D C$ ，求 $\tan C$ 的值；

(3)、若 $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 1$ ，求 $2 a \sin A + 3 b \sin B + 3 c \sin C$ 的最小值．

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