四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则复数 $\frac{1}{z^{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2. 设集合 $A = \{x \in N |0 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 x - 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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3. 若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sin 4 x}{1 + 3^{|x|}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知二项式 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中所有项的系数和为32，若 $ξ \sim N (μ, 4)$ 且 $P (ξ < a) = P (ξ > 3)$ ，则 $μ$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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6. 已知各项为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n}^{2} - 2 S_{n} = S_{n - 1}^{2} + 2 S_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则 $S_{2026} =$ （）

A、4052 B、4051 C、2027 D、2026

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x) = f (x - y) f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) + f (x) > 2 f (x + 1)$

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $l$ 为 $C$ 的一条渐近线，若双曲线 $C$ 的左焦点 $F (- c, 0)$ 关于直线 $l$ 的对称点在圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且公比 $q > 0$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = \frac{19}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = \frac{3}{2}$ B、 $S_{4} < 8$ C、 $\{\log_{2} a_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列

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10. 函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{2 a}{3} x^{3} - x^{2} + 2 b x$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = - b = 1$ ，则 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点 B、若 $f^{'} (1) = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、若 $a = 0$ ， $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 单调递减，则 $b \leq \frac{3}{2}$ D、若 $a \leq 0$ ， $b = 0$ ，则 $f (x)$ 无零点

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 3 = 0$ 的距离小2，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），且 $|A F| = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 的方程为 $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ B、 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $|A B| = \frac{16}{3}$ D、若曲线 $y = k |x - 1|$ （ $k > 0$ ）与 $C$ 在第一象限相交于 $P$ 、 $Q$ 且 $∠ P O F = 2 ∠ Q O F$ ，则 $k = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12. 已知事件 $A$ ， $B$ 相互独立， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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13. 已知 $f (x) = b + cos(ω x - \frac{π}{4})$ （ $2 < ω < 3$ ）的图象关于点 $(- \frac{π}{2}, - 1)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ .

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14. 三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的表面上，若 $P A = A C = P C = 1$ ， $B C = P B = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \sqrt{7}$ ， $c \sin B = b \sin (\frac{π}{3} + C)$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $A C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在 $[19, 21)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{5}$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $D E = 2$ ， $A E ⊥ C D$ .将三角形 $D A E$ 沿 $A E$ 翻折至四边形 $D^{'} A E$ ，使得平面 $D^{'} A E$ 与平面 $A E C B$ 所成的二面角的大小为 $60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ D^{'} A$ ；

(2)、动点 $M$ 在线段 $A B$ 上运动，当 $M$ 到平面 $D^{'} A E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $D^{'} A E$ 与平面 $D^{'} C M$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，右焦点 $F (\sqrt{2}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过右焦点 $F$ 斜率为 $k$ （ $k > 0$ ）的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ ， $D$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴上方），点 $S$ ， $T$ 是椭圆 $C$ 上异于 $B$ 、 $D$ 的两点， $S F$ 平分 $∠ B S D$ ， $T F$ 平分 $∠ B T D$ .
（ⅰ）求 $\frac{|B S|}{|D S|}$ 的取值范围；
（ⅱ）动点 $M$ 与两定点 $H$ 、 $E$ 的距离之比 $\frac{|M H|}{|M E|} = λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）， $λ$ 是一个常数，那么动点 $M$ 的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线 $H E$ 上，将点 $S$ ， $F$ ， $T$ 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 $△ S F T$ 外接圆的面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 函数 $f (x) = x - (\frac{1}{2} x + a) \ln x - 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ ， $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}$ ，请比较 $4 T_{n}$ 与 $ln (n + 1)$ 大小，并说明理由．

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