天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题

试卷更新日期：2026-03-27 类型：高考模拟

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一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x | - 2 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x | x \leq - 2\}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{x | x \geq 1\}$ B、 $\{x | x > 1\}$ C、 $\{x | x > - 2\}$ D、 $\{x | x < - 2\}$

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2. “ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = |x - a|$ 在区间 $(- \infty, 2)$ 上为减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} \cdot sin (x + \frac{π}{2})}{4^{x} + a}$ 是偶函数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 已知下列三个命题：其中真命题的序号是（）
①数据 $- 2, - 1, 2, 3, 5, 9$ 的第60百分位数为3；
②若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (2, \frac{1}{2})$ ，则 $D (X) = \frac{1}{2}$ ；
③若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 1) = 0.8$ ，则 $P (1 < X < 3) = 0.3$ .

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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5. 若 $ln \frac{1}{a} = \frac{1}{2}, b = ln 11 - ln 10, c = ln \frac{1}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点，则以下结论错误的是（）

A、 $A M / /$ 面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ B、 $A_{1} M ⊥ B C$ C、 $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} M$ D、 $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上，下焦点分别为 $F_{2}, F_{1}$ ，抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{3} y$ 的准线 $l$ 过点 $F_{1}$ ，且 $l$ 与 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ，若直线 $A F_{2}$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{7 x^{2}}{9} - \frac{7 y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{7 y^{2}}{9} - \frac{7 x^{2}}{12} = 1$

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8. 已知 $n \in N^{*}$ ，各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $G_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{2} G_{n} = 1$ 成立，则 $a_{6} =$ （）

A、 $\frac{1}{30}$ B、 $\frac{1}{42}$ C、 $\frac{1}{56}$ D、 $\frac{1}{72}$

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9. 已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的部分图象如下图，记 $h (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ ，则函数 $h (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{π}{4}]$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[- \sqrt{3}, 1]$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）

10. $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{3 + i}{1 + i}$ 的共轭复数为．

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11. 在 ${(\frac{1}{3 x^{2}} + x)}^{6}$ 的展开式中， $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 上到直线 $y = x + m$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点有且仅有4个，则实数 $m$ 的取值范围为．

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13. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队 $3$ 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中 $3$ 人答对的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，且各人正确与否相互之间没有影响．用 $ξ$ 表示甲队的总得分，则随机变量 $ξ$ 的数学期望为；用 $A$ 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 $3$ ”这一事件，用 $B$ 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则 $P (A B) =$ ．

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14. 已知梯形 $A B C D$ 面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $\vec{A B} = 3 \vec{D C}$ ， $\frac{\vec{D A}}{|\vec{D A}|} \cdot \frac{\vec{D C}}{|\vec{D C}|} = - \frac{1}{2}$ ， $E$ 为 $D C$ 上靠近点 $C$ 的四等分点， $G$ 为线段 $B E$ 上一点，且满足 $\vec{A G} = \frac{1}{2} \vec{A B} + λ \vec{A D} (λ \in R)$ ，则 $λ =$ ． $|A G|$ 的最小值为．

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15. 已知 $f (x) = \{\begin{cases} {(x - b)}^{2}, x > b \\ \frac{1}{x - b}, x < b \end{cases}$ $(b \in R)$ ，若存在实数 $a$ ，满足有且仅有三个不同的实数 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 使得下列关于 $x$ 的方程 $a b + b f (x) = |b^{2} - 3 b| + 1$ 在 $b$ 等于 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 时均无解．则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2 a + 3 c}{3 a + 3 b} = \frac{b - a}{c}$ ．

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、已知 $a \cos C = c \cos A$ ．
（i）若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{6} b = 4 a$ ，求 $b, c$ 的值；
（ii）求 $cos (4 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $A B = 2 A D = 4$ ， $D D_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A D ⊥ B D$ ， $Q$ ， $H$ 分别为 $A A_{1}$ ， $D_{1} B$ 的中点．

(1)、求直线 $Q H$ 与平面 $H B C$ 所成角的正弦值；

(2)、求平面 $Q B H$ 与平面 $H B C$ 的夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $Q - H B C$ 的体积 $V$

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，短轴长为4

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点，若点 $P (- 4, 0)$ ，且点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点在直线 $P N$ 上，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知 $n \in N^{*}$ ，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ ，正项等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为5，且 $b_{1}, b_{3} - 1, b_{6}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设 $p_{n} = (b_{n} - 3 n) 3^{n}$ ， $T_{i j} = \{\begin{array}{l} \sum_{k = i}^{j} p_{k}, i < j \\ p_{i}, i = j \end{array}$ ， $(i, j \in N^{*})$ ．求证：若 $m, r, s, t \in N^{*}$ ，满足 $m \leq r, s \leq t$ ，且有序实数对 $(m, r) \neq (s, t)$ ，则 $T_{m r} \neq T_{s t}$ ．

(3)、设 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}, H = \{t |t =| a_{i} - a_{j} ∣, i, j \in A_{n}\}$ ，求集合 $H$ 的所有元素之和 $M$ ．

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20. 已知函数 $h (x) = m \ln x + e^{- x} ， (m \in R)$

(1)、若函数 $h (x)$ 为增函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知实数 $p, q \in (0, + \infty)$ ，且 $p < q$ ．
（i）证明： $p (e^{p + 1} - e^{q + 1}) > e^{p + q} (p - q)$ ；
（ii）若 $p$ 与 $q$ 是函数 $h (x)$ 的两个极值点，证明： $0 < h (p) - h (q) < 1$ ．

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