广东广州市铁一中学2026届高三考下学期5月适应性考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-23 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1. 在复平面内， $(1 - i) (4 + 3 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{x | {log}_{2} x < 1\}, B = \{x | x < 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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3. 2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（）
偏瘦
<18.5
正常
18.5~23.9
偏胖
24~27.9
肥胖
≥28

A、这组数据的中位数为20 B、该组数据的极差为14 C、这十个人的平均体重正常 D、从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%

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4. 若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 的夹角 $⟨\vec{a} - \vec{b}, \vec{a}⟩ = \frac{π}{6}$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的值为（）

A、 $- 6$ B、0 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} (x + 1) + m, x > 0 \\ 2^{x} + m, x \leq 0 \end{array}$ 有两个零点，则m的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 1]$

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6. 在正四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，侧棱和底面所成角为 $60 °$ ，则该正四棱台的侧面积为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{7}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{7}$

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7. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线经过椭圆上的 $P$ 点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 $F_{2}$ ，且在 $P$ 点处的切线垂直于法线（即 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线）.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $P$ 处的法线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{1} Q} = 3 \vec{Q F_{2}}$ ，入射角 $∠ F_{1} P Q = \frac{π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，函数 $g (x) = (x - 2) f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 中心对称，若 $g (- 1) = 3$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列关于函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的说法正确的是（）

A、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{18}, \frac{π}{18})$ 上单调递减 D、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - 2$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = π$

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10. 设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，经过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、若 $|F A| = 3 |F B|$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ B、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相切 C、存在直线 $A B$ ，使得 $O A ⊥ O B$ D、若直线 $A O$ 交 $l$ 于点 $D$ ，则 $B D ⊥ l$

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11. 已知曲线 $C : k x^{2} = (1 + y) {(1 - y)}^{3} (k > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上的点到 $x$ 轴的距离的最大值为1 C、若 $k = 1$ ，且点 $(x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $x_{0} + y_{0} ⩽ 1$ D、若曲线 $C$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} = 1$ 只有2个公共点，则 $k$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$

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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, \sqrt{S_{n + 1}} - \sqrt{S_{n}} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$

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13. 已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $cos 2 α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β =$ ．

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14. 如图，一点从正方形的顶点 $A$ 处出发在各顶点间移动，每次移动要么以 $\frac{1}{3}$ 的概率沿平行于 $B C$ 方向（正、反方向均可）移动一步；要么以 $\frac{2}{3}$ 的概率沿平行于 $A B$ 方向（正、反方向均可）移动一步．设移动 $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ）步后回到点 $A$ 的概率为 $A_{n}$ ，到达点 $C$ 的概率为 $C_{n}$ ， $A_{n} - C_{n}$ = ．

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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 3$ ，点 $D, E$ 是 $B C$ 边上的两点，点 $D$ 在 $B, E$ 之间， $∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求 $\frac{A D \cdot C E}{A E \cdot B D}$ 的值；

(2)、若 $B C = 7$ ， $A B ⊥ A E$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}, g (x) = x^{2} + x ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17. 斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长为4， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， D为棱 $B B_{1}$ 上的一点．

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面ABC，且二面角 $A - A_{1} D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求BD的长．

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18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
$a$

女生
$b$
25

合计

100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？

(3)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为 $Z$ ，求使事件“ $Z = k$ ”概率最大的 $k$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为 $1$ ．过点 $P (3, 0)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $l_{2}$ 交双曲线 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $D E$ 的中点，直线 $M N$ 过定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ；再过点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 作两条互相垂直的直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ ， $l_{3}$ 交双曲线 $C$ 于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 两点， $l_{4}$ 交双曲线 $C$ 于 $D_{1}$ 、 $E_{1}$ 两点， $M_{1}$ 、 $N_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $D_{1} E_{1}$ 的中点，直线 $M_{1} N_{1}$ 过定点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 、 $P_{3} (x_{3}, y_{3})$ 、 $\dots$ 、 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求点 $P_{1}$ 的坐标；

(3)、若 $Q (1, 0)$ 、 $R (1, 1)$ ，记 $△ Q R P_{n} (n \geq 1, n \in N^{*})$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ ．

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	40	$a$
女生	$b$	25
合计			100

偏瘦	<18.5
正常	18.5~23.9
偏胖	24~27.9
肥胖	≥28

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$