广东中山市第一中学2025-2026学年高一下学期数学一段考试题

试卷更新日期：2026-05-06 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $A (1, 2)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (x, 6)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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2. $△ A B C$ 的三边分别为1，2， $\sqrt{7}$ ，则这个三角形的最大内角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3}{4} π$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $tan θ = 2 \sqrt{5} cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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4. 如图所示，点 $E$ 为 $△ A B C$ 的边 $A C$ 的中点， $F$ 为线段 $B E$ 上靠近点B的三等分点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{4}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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5. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（）

A、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝3 B、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝3 C、ω＝ $\frac{2 π}{15}$ ， A＝5 D、ω＝ $\frac{15}{2 π}$ ， A＝5

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6. 为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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7. 若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 在△ $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (a, \cos \frac{A}{2}), \vec{n} = (b, \cos \frac{B}{2}), \vec{p} =$ $(c, \cos \frac{C}{2})$ 共线，则△ $A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、钝角三角形 C、有一个内角是 $\frac{π}{6}$ 的直角三角形 D、等腰直角三角形

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9. 下列等式正确的是（）

A、 $\sin 15^{o} \cos 15^{o} = \frac{1}{4}$ B、 $2 {sin}^{2} {22.5}^{o} - 1 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $cos 26^{o} cos 34^{o} + sin 26^{o} sin 34^{o} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\tan 71 ° - \tan 26 °}{1 + \tan 71 ° \tan 26 °} = 1$

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10. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ .则（）

A、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则 $0 < A C < 2$ C、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $2 \sqrt{3} < B C < 4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{A C}{B C}$ 的最大值是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点一定构成平行四边形 B、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，都有 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $Q$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{A Q} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B Q$ 的面积是 $△ A C Q$ 的面积的2倍

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $f (x) =$ .

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13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为 $51.3 °$ ， $∠ B D C = 104.5 °$ ， $C D = 2 m$ ， $B D = 3 m$ ，则卧牛雕像的高度 $A B =$ m．（参考数据：取 $\tan 51.3 ° = \frac{5}{4}$ ， $\cos 75.5 ° = \frac{1}{4}$ ）

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14. 设 $D$ 、 $E$ 分别是 $Δ A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上的点， $A D = \frac{1}{2} A B$ ， $B E = \frac{2}{3} B C$ . 若 $\overset{⃑}{D E} = λ_{1} \overset{⃑}{A B} + λ_{2} \overset{⃑}{A C}$ （ $λ_{1}, λ_{2}$ 为实数），则 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值是

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ．

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16. （1）已知 $α, β$ 都是锐角， $tan α = \frac{1}{7}$ ， $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $tan (α + 2 β)$ 的值；
（2）已知 $cos α + cos β = \frac{1}{2}$ ， $sin α + sin β = \frac{1}{3}$ ，求 $cos (α - β)$ 的值．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \cos x), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、当 $f (α) = - \frac{3}{10}$ ，且 $- \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ 时，求 $\sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = \sqrt{3} R$ （ $R$ 是 $△ A B C$ 的外接圆半径）.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{P C} = 2 \vec{B P}$ ， $O$ 是线段 $A P$ 的中点，过点 $O$ 的直线与线段 $A B, A C$ 分别交于点 $E, F$ ．

(1)、若 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，请用向量 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 来表示向量 $\vec{A O}, \vec{E O}$ ；

(2)、若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 \leq λ \leq 1), \vec{A F} = μ \vec{A C} (0 \leq μ \leq 1)$ ，求 $2 λ + μ$ 的最小值．

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