广东惠州市第一中学2025-2026学年高二下学期期中阶段考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-13 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{\ln 2}{x}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = x e^{x} + 1$ D、 ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$

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2. $\sqrt{5} - 2$ 和 $\sqrt{5} + 2$ 的等差中项与等比中项分别为（）

A、 $\sqrt{5}, 1$ B、 $\sqrt{5}, \pm 1$ C、 $2, \pm \sqrt{5}$ D、 $1, \pm \sqrt{5}$

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3. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A、 $A_{3}^{3}$ B、 $A_{4}^{4}$ C、 $4^{3}$ D、 $3^{4}$

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4. 与圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 都相切的直线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 $\frac{9}{30}$ ，下雨的概率为 $\frac{11}{30}$ ，既吹东风又下雨的概率为 $\frac{8}{30}$ ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（）

A、 $\frac{9}{11}$ B、 $\frac{8}{11}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 焦距为 $2 c$ ，顶点到渐近线的距离为 $\frac{c}{2}$ ，则离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、2

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7. 云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术､歌舞服饰､文化风情､宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（）

A、360 B、450 C、540 D、1020

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8. 设 $a = \frac{4}{104}$ ， $b = \ln 1.04$ ， $c = e^{0.04} - 1$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9. 已知随机变量X的分布列为
X
$- 1$
0
1
P
$p_{1}$
$p_{2}$
$p_{2}$
下列结论正确的（）

A、若 $p_{1} = 2 p_{2}$ ，则 $p_{1} = \frac{1}{4}$ B、若 $p_{1} = p_{2}$ ，则 $P (|X| = 1) = \frac{2}{3}$ C、若 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，则 $p_{2} = \frac{4}{9}$ D、 $p_{1}^{2} - p_{2}$ 的最小值为 $- \frac{9}{16}$ $(p_{1} p_{2} \neq 0)$

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10. 设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$ ，则（）

A、 $x = 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f (x^{2})$ C、当 $1 < x < 2$ 时， $- 4 < f (2 x - 1) < 0$ D、当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (2 - x) > f (x)$

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11. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2} ， l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别与 $E$ 交于 $A 、 C$ 和 $B 、 D$ ，则（）

A、 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、存在直线 $l_{1}$ ，使得 $|A C| = \sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{|A C|} + \frac{1}{|B D|}$ 为定值 D、若 $E$ 上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则 $E$ 变为圆

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三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.

12. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ （m>0）的一条渐近线为 $\sqrt{3} x$ +my=0，则C的焦距为.

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13. $(1 - \frac{y}{x}) {(x + y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 (用数字作答).

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14. 在n维空间中（ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n维空间中两点 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E (X) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 ${(2 x - 1)}^{n}$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、设 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1}$ 的值.

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16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)、求甲学校获得冠军的概率；

(2)、用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

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17. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．
（1）计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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18. 已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 $D : {(x -1)}^{2} + y^{2} = 1$ 都相切，记点P的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 $x = \frac{5}{2}$ 上，且 $∣ A B ∣= \sqrt{13}$ ，求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 $△ O A B$ 面积的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = a x - 2 \ln x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < (x - 2) \ln x + 2 x + a - 1$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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X	$- 1$	0	1
P	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{2}$