甘肃省2026届高三第二次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2026-04-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 集合 $A = \{(1 + i) (1 - i), \frac{1}{i}\}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $A \cap R =$ （）

A、 $A$ B、2 C、 $\emptyset$ D、 $\{2\}$

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4. 数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为正数的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{5} = 0, a_{2} a_{4} = - 4$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、0 B、4 C、6 D、8

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5. 函数 $f (x) = 2 cos (x + \frac{π}{2}) + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \sqrt{5}$ C、-3 D、-5

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6. 凸显地方特色､挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（）

A、14 B、20 C、24 D、120

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7. 正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $M, N$ 分别在棱 $A B, C D$ 上，则线段 $M N$ 长度的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 函数 $f (x) = lg x + \frac{2 x}{x + 1}$ ，若 $f (a) + f (b) = 2, a > 0, b > 0$ ，则 ${(a + b)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、16

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 数列 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4} + a_{5} = 6 a_{3}, S_{2} = S_{4} - 12$ ，则（）

A、 $a_{2026} = 2^{2025}$ B、数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 是公比为2的等比数列 C、 $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ D、 ${log}_{2} a_{1}^{2} + {log}_{2} a_{2}^{2} + \dots + {log}_{2} a_{n}^{2} = n (n - 1)$

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10. 函数 $f (x) = sin x + 3 sin 3 x + \dots + (2 n - 1) sin (2 n - 1) x (n \in N_{+}$ ，且 $n > 1)$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数 C、当 $n = 2026$ 时， $f (\frac{π}{2}) = - 2026$ D、函数 $y = f (x)$ 为奇函数

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11. 正方形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (2 \sqrt{2}, 0), B (0, 2 \sqrt{2}), C (- 2 \sqrt{2}, 0), D (0, - 2 \sqrt{2})$ ，曲线 $E : x | x | + y | y | + 4 = 0$ 分别与 $B C, D A$ 交于点 $M, N$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $| C D | + | D N | = | M A |$ B、坐标原点 $O$ 到曲线 $E$ 上任意一点距离的最小值为2 C、曲线 $E$ 与直线 $A B$ 有两个交点 D、曲线 $E$ 上存在点 $P$ ，使 $A P ⊥ B P$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 某超市有两个人工收银区 $A, B$ 和一个自助收银区 $C$ ，通过统计，顾客在 $A, B, C$ 区进行付款的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ ，在 $A, B, C$ 区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, m$ ，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为 $\frac{4}{9}$ ，则实数 $m =$ .

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13. 函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对于 $\forall x > 0$ ，都有 $f^{'} (x) > 0$ ，若 $f (ln a) > f (1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 圆锥 $P O$ 的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点 $P$ 和底面圆周上任意两点 $A, B$ 作圆锥的截面，当底面圆心 $O$ 到截面 $P A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $△ P A B$ 重心的轨迹所围成图形的面积是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a cos A sin B = (2 c - a) sin A cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $B D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求 $sin ∠ A D B$ .

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16. 2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量 $x$ （单位：千件）与月检测成本 $y$ （单位：万元），得到如下数据：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
3.2
4.2
5.1
5.8
6.7

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计月产量达1万件时的月检测成本；

(2)、该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为 $a (0 < a < 1)$ ，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为 $P (a)$ ，若 $P (a)$ 是关于 $a$ 的函数，求证：函数 $P (a)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 对称.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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17. 如图，在多面体 $A B C D - E F C$ 中， $A B C D$ 为矩形， $A E, C F, D G$ 分别与平面 $A B C D$ 垂直， $A E = A D = 2, A B = C F = 3, M, N$ 分别是 $B D, E F$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $D C F G$ ；

(2)、若 $G, E, B, F$ 共面，求平面 $E G C$ 和平面 $D C F G$ 所成角的余弦值.

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18. 已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $T (2, 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l$ ，连接 $O T$ ，作 $O T$ 的平行线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，交 $l$ 于点 $P$ ，若 $| P T |^{2} = λ |P A| \cdot |P B|$ ，判断 $λ$ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.

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19. 已知 $f (x) = (x - a) e^{x} + (a - 1) x$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在定义域内为增函数，求 $a$ 的取值集合；

(3)、求证：
（i）对于 $\forall x > 1, ln x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ ；
（ii）对于 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $\sqrt{1 \times 3} + \sqrt{2 \times 4} + \dots + \sqrt{n (n + 2)} > \frac{n^{2} + 3 n}{2} + \frac{1}{4} ln \frac{2}{n^{2} + 3 n + 2}$ .

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$x$	2	3	4	5	6
$y$	3.2	4.2	5.1	5.8	6.7