广西柳州市柳江中学2026届高三下学期数学考前综合测试试题

试卷更新日期：2026-04-30 类型：高考模拟

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合）

1. 若复数 $z$ 满足 $| z |^{2} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0或 $- i$ D、0或 $i$

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2. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、17

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3. 已知 $α \in (0, π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设一个随机事件的样本空间为 $Ω$ ，事件 $A, B \subseteq Ω$ ，则下列结论中不一定成立的是（）

A、 $0 \leq P (A) \leq 1$ B、 $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ C、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A) \leq P (B)$ D、若 $A \cup B = Ω$ ，则 $P (A) + P (B) = 1$

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5. 已知实数 $a > 1$ ， $b > 1$ ，若 $\log_{a} b = 2$ ， $\log_{2} \frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ ，则 $\log_{4} (a b) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知一个圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（）

A、体积为 $3 π$ B、表面积为 $2 \sqrt{3} π$ C、两条母线的夹角的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、过顶点的截面面积的最大值为2

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7. 已知点 $A (1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ，点P是抛物线 $C : y^{2} = x$ 上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为 $k_{1}$ ，直线BP的斜率为 $k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $k_{1} - k_{2}$ 为定值 B、 $k_{1} + k_{2}$ 为定值 C、 $\frac{1}{k_{1}} - \frac{1}{k_{2}}$ 为定值 D、 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，各项均为正整数，且对 $\forall n \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，满足 $|a_{n + 1} - a_{n}| = 1$ ，若 $k (k \in N^{*})$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，记满足题意的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为 $A_{k}$ ，则 $A_{2} - A_{1} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图象向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为偶函数

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10. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、此正四面体的表面积为 $3 \sqrt{3}$ B、此正四面体外接球的表面积为 $6 π$ C、此正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 D、从此正四面体6条棱中任取2条，这2条棱垂直的概率为 $\frac{2}{5}$

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的两条渐近线夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 ${|A F_{1}|}^{2} - {|A F_{2}|}^{2}$ 的最小值为 $8 \sqrt{3}$ C、当 $|F_{1} F_{2}| = 2 |O A|$ 时， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为1 D、 $△ A B F_{1}$ 的周长最小值为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）

12. $x {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

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13. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{3} |D C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为

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14. 如图，要用 $2 n$ 个元件组成一个电路系统，当且仅当从 $A$ 到 $B$ 的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为 $X_{n}$ ，则 $E (X_{4}) =$ .

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四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $tan A = \frac{cos B}{1 + sin B}$ ．

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆半径为1，当 $△ A B C$ 的面积取最大值时，求 $\frac{b}{a^{2}}$ ．

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16. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
2022
2023
2024
年份代号 $x$
1
2
3
4
销量 $y$
33
69
93
129
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 966, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4896, \sqrt{170} \approx 13.04$ $．$

(1)、试根据样本相关系数 $r$ 的值判断该地汽车销量 $y$ 与年份代号 $x$ 的线性相关性强弱（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较强， $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性较弱）；（精确到0.001）

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．

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17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 $A B = A C = 3 ， ∠ B A C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $∠ C B D = 30^{\circ}$ ．将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 翻折至 $△ P B C$ ，使得二面角 $P - B C - D$ 为直二面角．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P, B, C, D$ 在同一个球面上，求该球的半径；

(3)、求平面 $P B D$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (1, 0), Q (- 4, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值．

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19. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x$ ，直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{e}, e^{2}]$ ，存在 $c \in [- e, 0]$ ，使得不等式 $(x + 1) f (x) \geq x^{2} + b x + c$ 成立，求 $b$ 的最大值；

(3)、若 $φ (x) = e^{x} f (x)$ ，求证：对任意 $s, t \in (1, + \infty)$ ，有 $φ (s + t) > φ (s) + φ (t)$ .

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年份	2021	2022	2023	2024
年份代号 $x$	1	2	3	4
销量 $y$	33	69	93	129