河北沧州市第一中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：高考模拟

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一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.

1. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x > x$ B、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x < x$ C、 $\exists x \in (- \infty, 0) \cup (\frac{π}{2}, + \infty)$ ， $\sin x \geq x$ D、 $\exists x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin x \geq x$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的实轴长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、4 C、 $2 \sqrt{6}$ D、8

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3. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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4. 已知 $x (x - 2)^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{8} (x - 1)^{8}$ ，则 $a_{6} - a_{5} =$ （）

A、-14 B、28 C、14 D、-28

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5. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{5} - a_{1}}{a_{3} - a_{1}} = 3$ ，则 $\frac{a_{10} - a_{2}}{a_{6} + a_{2}} =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、15

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6. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（）

A、 $96$ B、 $192$ C、 $384$ D、 $768$

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7. 正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（）

A、 $144 \sqrt{3}$ B、 $153 \sqrt{3}$ C、 $225 \sqrt{3}$ D、 $234 \sqrt{3}$

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8. 已知点 $A, B$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，设 $C$ 的焦点为 $F$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 在 $C$ 的准线 $l$ 上的射影为 $M^{'}$ ，且 $|A B| = \sqrt{3} |M M^{'}|$ ，则向量 $\vec{F B}, \vec{F A}$ 的夹角的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x} (\bar{x} \neq 0)$ ，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据 $x_{1} + \bar{x}, x_{2} + \bar{x}, x_{3} + \bar{x}, \dots, x_{n} + \bar{x}$ ，则新数据与原数据相比（）

A、极差相同 B、平均数不同 C、方差不同 D、中位数相同

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10. 已知函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - a e^{x}$ 有且只有两个极值点，记极值点为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{1}{e} < a < 1$ B、 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随 $a$ 的增大而减小 C、 $x_{1} + x_{2}$ 随 $a$ 的增大而减小 D、 $x_{1} x_{2}$ 随 $a$ 的增大而增大

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11. 已知曲线 $C : y^{2} = x^{3} + x + 2$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点横坐标的最小值为 $- 1$ C、曲线 $C$ 与 $y$ 轴围成封闭图形的面积大于 $\frac{π}{2}$ D、直线 $y = \sqrt{2} x$ 与曲线 $C$ 有三个交点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 对于非空集合 $P$ ，定义函数 $f_{P} (x) = \{\begin{matrix} - 1, x \notin P, \\ 1, x \in P, \end{matrix}$ 已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 1}, B = {x ∣ t < x < 2 t}$ ，若存在 $x \in R$ ，使得 $f_{A} (x) + f_{B} (x) > 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围为.

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13. 设复数 $z = 1 + \sqrt{2} i$ ，则 $z^{2} - 2 z =$ ；

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14. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + m = 0$ 外切，此时直线 $l$ ： $x + y = 0$ 被圆 $C_{2}$ 所截的弦长为；若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C_{2}$ 上一点，则 $x_{0} ^{2} + y_{0} ^{2}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $A D$ 的中点， $G$ 为棱 $D D_{1}$ 上的动点.

(1)、若点 $G$ 为 $D D_{1}$ 中点，证明： $B C_{1} / /$ 平面 $E F G$ ；

(2)、若直线 $E F$ 与平面 $C F G$ 所成的角为 $45 °$ ，求平面 $C F G$ 与平面 $E F G$ 夹角的余弦值.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln x - 2 k x$ ， $x \in (0, e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为 $- 2$ ？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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17. 经调查发现，年龄（单位：岁）在[10，60]上的旅游者为中国乡村旅游的“目标客群”.为了充分了解此群体的旅游意愿，随机调查了“目标客群”中的300名旅游者，统计他们的年龄，得到如下统计表：
组名
A
B
C
D
E
年龄
$[10, 20)$
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
人数
20
120
100
40
20

(1)、用分层随机抽样的方法，从上面5组“目标客群”中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取4人，记抽到C组的人数为 $X_{1}$ ， E组的人数为 $X_{2}$ .设 $X = |X_{1} - X_{2}|$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、年龄在 $[20, 40)$ 上的旅游者称为中国乡村旅游的“主流客群”.若把样本中“主流客群”的频率作为所有“目标客群”中“主流客群”的概率，则从所有“目标客群”中随机抽取20人，“主流客群”中最有可能被抽到多少人？

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0), (c > 0)$ ，上顶点为A，O为坐标原点，且 $\tan ∠ A F_{1} O + \tan ∠ F_{1} A O = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, △ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $c > b$ ，求椭圆 $C$ 上的点到直线 $l : \frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1$ 距离的最大值.

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19. 已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = ({sin}^{2} x - {cos}^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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组名	A	B	C	D	E
年龄	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
人数	20	120	100	40	20