湖北省圆创联盟2026年(届)高三年级5月高考考前模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2026-05-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $s i n 1 5^{\circ} + c o s 1 5^{\circ} =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知集合A={x|x>a}，B={x|-1≤x≤2}，若(C_RA)∩B= $\emptyset$ ，则a的取值范围是( )

A、(-∞，-1) B、[-1，2] C、(-∞，2) D、[2，+∞)

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3. 已知复数z满足 $z \bar{z} = 2 i (1 - z),$ 则z=( )

A、i B、-i C、1+i D、1-i

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4. 已知一组样本数据有两层，第一层有 N个数据，平均数为x，第二层有M个数据，平均数为y，两层数据合到一起计算出的平均数为z，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为m，则新的样本数据的平均数为( )

A、 $\frac{\bar{x} + \bar{m} + \bar{y}}{3}$ B、 $\bar{z} + \bar{m}$ C、 $\bar{z} + \frac{n \bar{m}}{M + N + n}$ D、 $\frac{N \bar{x} + n \bar{m} + M \bar{y}}{N + M + n}$

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5. 已知函数 $f (x) = (1 + \frac{2}{2^{x} - 1}) \frac{1}{x},$ 则f(x) ( )

A、是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增 B、是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减 C、是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递减 D、是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增

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6. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b > 0)$ 的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 已知随机事件A、B、C满足 $P (A) = \frac{1}{3}, P (B) = P (C) = \frac{1}{4}, P (A B) = P (A C) = 0, P (B C) = \frac{1}{6},$ 则A、B、C至少有一个发生的概率为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 在△ABC中，已知AB=2AC，BC=3.记点A 的运动轨迹为曲线E，△ABC 的外接圆M 与曲线E交于A、D 两点.当∠ABC 取最大值时，AD=( )

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{7}$ D、2 $\sqrt{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知等比数列{a_n}的公比q>1，则( )

A、数列{a_n}是递增数列 B、数列{|a_n|}是递增数列 C、数列{a²}是递增数列 D、数列{a₁a_2n}是递增数列

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + b,$ 则( )

A、f(x)一定有零点 B、曲线y=f(x)与直线y=x+b 恒有3个交点 C、若f(x)有3个零点，则它们的和为0 D、曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形

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11. 已知正四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为2的正方形，高为h，其五个顶点均在半径为R 的球O₁ 的球面上，半径为r的球O₂与正四棱锥的五个面均相切，则( )

A、若四棱锥 $O_{2} - A B C D$ 和三棱锥( $O_{2} - P B C$ 的体积相等，则 $h = \sqrt{15}$ B、若O₁为底面中心，则 $r = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ C、若O₁与O₂重合，则 $R = 1 + \sqrt{2}$ D、若O₁在棱锥内，且在球O₂的球面上，则 $R = (1 + \sqrt{3}) r$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量a=(1，-1)，b=(0，2)，若a+b与2a-kb平行，则实数k=.

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13. 已知 $A (\frac{1}{3}, \sqrt{3}), B (\frac{7}{3}, - \sqrt{3})$ 为曲线 $y = \sqrt{3} s i n (ω x + φ) (0 < ω < 4,0 < < \frac{π}{2})$ 上的两点，则φ= .

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14. 已知点 A、B分别为曲线 $y = e^{x}$ 和 $y = e^{2 - x}$ 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|<e，则四边形ABCD 面积的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x .$

(1)、若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；

(2)、对于函数g(x)，若 $g (x_{0}) = x_{0},$ 则称x₀为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.

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16. 记 S_n为等差数列{an}的前n项和，已知 $a_{3 n} = 3 a_{n} + 2, S_{2 n} = 4 S_{n} .$

(1)、求 a_n；

(2)、记数列{b_n}的前n项和为T_n ，且 $T_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n + 1}} .$ 若对 $\forall n \in N^{*}, T_{n} \leq k a_{n} + b_{n},$ 求k 的取值范围.

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17. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形， $A A_{1} = b, ∠ A_{1} A B =$ $∠ A_{1} A D = ∠ D A B = θ (0 < θ < π) .$

(1)、证明：平面A₁ACC₁⊥平面 D₁DBB₁；

(2)、对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；

(3)、在(2)的条件下，当直线A₁C与平面AB₁C 所成的角最大时，求a与b的关系.

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18. 已知双曲线L $: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2},$ ，离心率为2，M为E上的动点，且M 到两焦点的距离的差的绝对值为2.

(1)、求 E 的方程；

(2)、过点M 作斜率为 $\frac{a}{b}$ 和 $- \frac{a}{b}$ 的直线，分别与 E 交于点G、H，求|GH|的最小值；

(3)、过点 F₁ 的直线l₁交E于A、B 两点，过点 F₂的直线l₂交E于C、D 两点，l₁与l₂交于点 P，且l₁与l₂的斜率之积为 $\frac{b^{2}}{a^{2}} .$ 证明：△PAD 与 △PBC 面积的乘积为定值.

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19. 现有n枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这n枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记两次抛掷后正面朝上的次数之和为 X.

(1)、当n=2时，求X 的分布列与数学期望；

(2)、对确定的n，∀k∈{0，1，2，…，2n}，∃m∈{0，1，2，…，2n}，使得. $P (X = m) \geq P (X = k)$ 成立，请直接写出m，不用推导；

(3)、求E(X).

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