浙江省杭州第二中学、温州中学、金华一中、绍兴一中、舟山中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题

试卷更新日期：2026-05-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x \in Z ‖ x ∣ < 2},$ 全集U={-2，-1，0，1，2}，则 $∁_{U} A$ = ( )

A、∅ B、{-2} C、{2} D、{-2，2}

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2. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{3 i}$ 的虚部为( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是( )

A、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{3} < r_{1}$ D、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{1} < r_{3}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (0, 1), \vec{c} = (4, x)$ ，若 $(2 \vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{c},$ 则x= ( )

A、1 B、- 1 C、16 D、- 16

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5. 已知函数 $f (x) = {s i n}^{2} x + \sqrt{3} s i n x \cdot c o s x - 1,$ 则( )

A、f(x)的最大值为 3 B、f(x)的最小正周期为2π C、f(x)在 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、f(x)的最小正零点为π/2

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6. 已知一个圆台的上下底面半径分别为 3和 6，球O与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球O的表面积为( )

A、36π B、72π C、108π D、144π

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线与C的右支交于点A，B， $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = \frac{1}{2} {\vec{F_{1} B}}^{2} = {\vec{F_{1} A}}^{2},$ 设双曲线的离心率为e，则 $e^{2} =$ ( )

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $6 - 2 \sqrt{2}$ D、 $7 - 2 \sqrt{2}$

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8. 若曲线 $C : y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 上存在至少两点到直线l：x+my+2=0的距离为 1，则实数m的取值范围为( )

A、 $[- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{6}]$ B、 $[- 2 \sqrt{6}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{6}] \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup [2 \sqrt{6}, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，则这组数据的( )

A、极差为 6 B、40%分位数为 3.5 C、平均数为 4 D、方差为 5

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10. 已知函数 $f (x) = (x - \frac{1}{2}) l n (1 - \frac{1}{x}),$ 则下列说法正确的是( )

A、函数f(x)的定义域为{x|x<0或x>1} B、不等式f(x)>0的解集为∅ C、函数f(x)的图象为轴对称图形 D、函数f(x)的图象为中心对称图形

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11. 已知数列{an}的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{3^{n}}, n \in N^{*}, S_{n}$ 是其前n项的和. ∀n，m∈N*，下列结论正确的是( )

A、 $S_{n} < 1$ B、 $(m - n) (S_{m} - S_{n}) \leq 0$ C、 $1 - S_{m + n} > {(1 - S_{m})}^{2}$ D、 $1 - S_{m + n} > (1 - S_{m}) (1 - S_{n})$

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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.

12. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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13. 已知函数 $f (x) = l n (2 x - 1) + \frac{a}{x}$ 的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a=.

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14. 设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 24. 把△ABC 沿AC 向ADC 折叠， AB 折过去后交DC于点P，则△ADP 面积的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知公差不为零的等差数列{a_n}中， $a_{3} = 7,$ 且a₁ ， a₄ ， a₁₃成等比数列.

(1)、求数列{a_n}的通项公式：

(2)、若数列{b_n}满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求数列{b_n}的前n项和S_n.

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16. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}, ∠ A P D = \frac{π}{2},$ PA=1， PC=2， M是AD的中点.

(1)、证明： PA⊥CM ；

(2)、求直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = x (2 l n x - x + 1) .$

(1)、设f'(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间；

(2)、设x₀是f(x)的极小值点，求证： $- 1 < f (x_{0}) < 0;$

(3)、若 $f (x) \leq a \cdot x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b > 0)$ 过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}),$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ， O是坐标原点.

(1)、求c的方程；

(2)、过C的右焦点F 作直线l与椭圆交于A，B两点，以OA，OB 为邻边作平行四边形OAQB .
(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状；
(ii)过F的任意一条直线l'与椭圆C交于P₁ ， P₂两点，与Q的轨迹交于P₃ ， P₄两点，其中P₁ ， P₃在x轴上方，求△OP₁P₃和△OP₂P₄面积之和的范围.

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19. 某景点周边文创店推出了一款单价 10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金)：
①一等奖：奖金 40元，中奖概率 5%；
②二等奖：奖金 20元，中奖概率 10%；
③三等奖：奖金 10元，中奖概率 30%.

(1)、小明初始有 20元零花钱.
(i)若他购买 1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii)小明想要购买一款定价 40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率.

(2)、若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p，求证： $p < \frac{5}{11} .$

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