河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的．

1. 已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 4\}, B = \{x |x^{2} < 9\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 4\}$ D、 $\{x |- 3 < x < 3\}$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. $a = \sin 2, b = \log_{2} a, c = 2^{- b}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、b＜c＜a D、 $a < b < c$

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4. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在直线 $2 x + y = 0$ 上，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 生态系统的物种丰富度指数 $I = \frac{2 S - 3}{\log_{2} N}$ 用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从 $N_{1}$ 变为 $N_{2}$ ，丰富度指数由5提升至7，则（）

A、 $5 N_{1} = 7 N_{2}$ B、 $7 N_{1} = 5 N_{2}$ C、 $N_{2}^{5} = N_{1}^{7}$ D、 $N_{2}^{7} = N_{1}^{5}$

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6. 若两个随机事件 $A, B$ 相互独立，满足 $P (A |B) = \frac{1}{5}, P (\bar{B} |A) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{13}{25}$ D、 $\frac{22}{25}$

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7. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数； $a_{1013}, a_{1014}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + 1$ 的两个极值点，则 $\sum_{k = 1}^{2026} \log_{4} a_{k} =$ （）

A、2026 B、2025 C、1014 D、1013

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8. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点，A，B是双曲线上的两点， $\vec{A F_{1}} = 3 \vec{F_{1} B}$ ， $\cos ∠ A F_{2} B = \frac{3}{5}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A (0, 0, 1), B (2, 1, 1), C (2, 2, 0)$ ，则（）

A、点D的坐标是 $(0, 1, 0)$ B、 $\cos ∠ B A D = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、四边形 $A B C D$ 的面积是3 D、坐标原点O到直线 $A C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10. 函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x - 3 \sin | x | + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 有4个零点 D、 $f (x)$ 的最大值为6

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11. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前k项和为 $T_{k}$ ，则（）

A、若 $a_{1} < 0$ 且 $S_{3} = S_{11}$ ，则 $S_{n} \geq 0$ 时， $n$ 的最小值为21 B、若当且仅当 $k = 20$ 时， $T_{k}$ 取得最小值，则 $S_{9} > S_{11}$ C、若 $T_{k}$ 取最小值时，k有两个不同解，则 $\exists m \in N^{*}, S_{m} = 0$ D、若 $\{a_{n}\}$ 以1为首项，以 $\sqrt{2}$ 为公差，则数列 $\{a_{n}\}$ 中存在三项成等比数列

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} f (x - \frac{π}{4}) + \frac{1}{2}, x > 0 \\ \cos x, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (\frac{π}{2}) =$ ．

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13. 某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值 $x_{i} (i$ $= 1, 2, 3, \dots, 100$ ）．经计算 $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 9400, \sum_{i = 1}^{100} x_{i}^{2} = 100 \times (94^{2} + 49)$ ．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N $(μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827,$ $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545,$ $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

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14. 已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为 $\frac{π}{3} . A B$ 是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面 $a$ 与母线SA交于点 $P$ ，当 $B S / / α$ 时， $△ P M N$ 面积的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $A, B, C$ 成等差数列， $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 4$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $D$ 是 $A B$ 的中点，求 $C D$ 的最小值．

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16. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组： $(0 ， 20]$ ， $(20 ， 40]$ ， $(40 ， + \infty)$ 一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在 $(0 ， 20]$ ， $(20 ， 40]$ ， $(40 ， + \infty)$ ，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．

(1)、若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；

(2)、在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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17. 三棱锥 $P - A B C$ 中，已知M是PC的中点． $A M = B M = \frac{1}{2} P C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面PBC， $P B = 4, B C = 2$ ．

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥 $M - A B C$ 外接球的表面积．

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18. 某设计图案由曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 构成，曲线 $C_{1}$ 是以原点O为中心， $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 为焦点的椭圆，曲线 $C_{2}$ 是满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ 的动点P的轨迹，如图所示， $A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是两条曲线的一个交点，已知 $A F_{1}$ 恰好与曲线 $C_{2}$ 相切．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $A F_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的另一交点为 $A_{1}$ ，直线 $A F_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 另一交点为 $A_{2}$ ，求 $△ A A_{1} A_{2}$ 的面积；

(3)、作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线 $l$ ，当直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $B, E$ 两点，与曲线 $C_{2}$ 交于 $C, D$ 两点时， $E$ 点关于原点 $O$ 的对称点为 $F$ ，若 $G$ 为 $C D$ 的中点，点 $Q (\frac{5}{3}, 0)$ ，记直线 $Q G$ 和直线 $B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，问 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时．
（i）若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ．求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ii）求证： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) - \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$

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