天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题

试卷更新日期：2026-04-23 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共9个小题，每小题6分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.

1. 已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 4\}$ ，集合 $B = {\sqrt{x} | x \in A}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5\}$

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2. 已知 $x \in R$ ， “ $|1 - 2 x| \geq 3$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{m}{5^{x} + 1}$ ，当函数 $f (x)$ 为奇函数时， $f ({log}_{\frac{1}{5}} 3)$ 为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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4. “明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（）

A、小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B、小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为 $y = - 0.69 x + 2.92$ ，其中x为日期（3月1日为 $x = 1$ ， 3月31日为 $x = 31$ ） C、小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D、小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关

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5. 已知 $a = e^{0.8}$ ， $b = {0.8}^{e}$ ， $c = {log}_{0.8} e$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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6. 已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，双曲线的某弦 $A B$ 中点为 $P (m, 1)$ ，且点 $P$ 在第一象限，弦 $A B$ 所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、2 C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 已知点 $A$ 为坐标原点， $B (3, 0)$ ， $C (0, 4)$ ，点 $O$ 在 $△ A B C$ 内部， $O (m, n)$ ，其中 $m \in Z^{+}$ ， $n \in Z^{+}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O A} \cdot \vec{O C} + \vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{25}{3}$ B、 $- 8$ C、 $- 7$ D、 $- 5$

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8. “明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价 $m %$ ，第二次提价 $n %$ ；方案乙：第一次提价 $n %$ ，第二次提价 $m %$ ；
方案丙：第一次和第二次均提价 $(\frac{m + n}{2}) %$ ；
方案丁：第一次提价 $(2 m + 2 n) %$ ，第二次降价 $(m + n) %$ ；
其中 $0 < n < m < 50$ ，则四个方案中提价最多的方案为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 已知 $ω > 0$ ，在函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ 的部分图象中（如图），其图象上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一直线上的三点，且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$ ，若 $|A D| = |D B| = |B C| = 1$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{4}$

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.请将答案填在题中横线上.

10. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ ．

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11. ${(9 x - \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．（用数字表示）

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12. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方， $|P F| = 5$ ， O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为．

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13. 立德中学高三年级进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若从中随机抽取两个红包，其中一个超过50元，另一个不超过50元的概率为；若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为．

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14. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ ， $P B 、 P D$ 的中点分别为 $E 、 F$ ，点 $G$ 为 $P C$ 上一动点，平面 $E F G$ 将正四棱锥分为两个部分，当 $G$ 为 $P C$ 中点时，体积较小部分与体积较大部分的比值为；当 $P G = \frac{1}{3} P C$ 时，体积较小部分与体积较大部分的比值为．

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15. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + a$ ，若对于任意 $x \in [a, 2 a]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答庼：本大题共5小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.

16. 已知正三角形 $A B C$ ，边长为3，点 $D 、 E$ 在边 $A B$ 上（如图）， $A D = 1$ ， $∠ A C D = ∠ D C E = θ$ ．

(1)、求 $C D$ 的长， $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $sin (2 θ + \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、求 $D E$ 的长．

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17. “明数理”数学兴趣小组在生活场景中发现了很多有趣的几何体，比如操场的小足球门，如图1，下面将该物体抽象为一个直四棱柱 $A B B_{1} A_{1} - D C C_{1} D_{1}$ ，如图2，底面 $A B B_{1} A_{1}$ 为直角梯形， $A B ∥ A_{1} B_{1}$ ， $A B ⊥ B B_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = B C = B B_{1} = 4$ ， $F$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 在 $A B$ 上且 $B E = 3 E A$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、求四面体 $F E B_{1} D_{1}$ 的体积．

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18. 数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为各项不为零的等比数列，公比为2， $n \in N^{*}$ ， $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 $\{k | b_{k} = a_{m} + a_{1}, 1 \leq m \leq 500\}$ 中元素的个数；

(3)、当 $a_{1} = 1$ 时，将数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入一个数 $a_{n} b_{n}$ ，构造新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $c_{1} = a_{1}$ ， $c_{2} = a_{1} b_{1}$ ， $c_{3} = a_{2}$ ， $c_{4} = a_{2} b_{2}$ ， …，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ 及满足 $S_{2 n} > 2026$ 的最小正整数 $n$ ．

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19. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，上顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $E$ 为 $O F$ 中点， $O$ 为坐标原点， $A E = \sqrt{5}$ ，椭圆上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限．

(1)、求椭圆方程；

(2)、若 $∠ P A F = ∠ E A F$ ，求 $y_{0}$ ；

(3)、若直线 $y = \frac{- x_{0}}{2 y_{0}} x$ 与椭圆交于点 $M 、 N$ ，点 $N$ 在点 $M$ 右侧， $Q$ 为线段 $O N$ 上一点， $P Q = 2 \sqrt{2}$ ，证明 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{2 x - 1} - a x$ ．

(1)、函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若直线 $e^{3} x - y - 3 e^{3} = 0$ 为函数 $f (x)$ 的一条切线，求 $a$ 的值；

(3)、函数 $g (x) = f (x) + a x - ln a x$ ，若对任意 $x > 0$ ， $g (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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