浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2026-04-17 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（）

A、3 B、5 C、6 D、7

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2. 若 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ （i为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 设 $f (x) = (a + b) \cos^{2} x + (a - b) \sin^{2} x$ ，若 $\{f (x) |x \in R\} = \{2\}$ ，则（）

A、 $a = 1$ 且 $b = 1$ B、 $a = 2$ 且 $b = 0$ C、 $a = 0$ 且 $b = 2$ D、 $a = 1$ 且 $b = - 1$

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4. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2.
规格
一号
二号
三号
四号
五号
尺寸（单位：cm）
288×192
240×160
192×128
144×96
96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的（）

A、周长构成等差数列 B、周长构成等比数列 C、面积构成等差数列 D、面积构成等比数列

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5. 设直线 $y = k x - k + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于M，N两点，则当 $|M N|$ 取最小值时， $k =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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6. 设函数 $y = \sqrt{3} \sin (4 x + φ) + \cos (4 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，设 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A (2, 0)$ 和 $B (0, 1)$ 均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若 $M N // A B$ ，则四边形 $A B M N$ 面积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ，则（）

A、 $\sin ∠ B A C = \frac{3}{4}$ B、 $△ A B C$ 的面积为6 C、 $|\vec{C A} - \vec{C B}| = 3$ D、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = 16$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + a x$ ，则（）

A、 $\exists a \in R$ ， $f (x)$ 是增函数 B、 $\forall a \in R$ ， $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ D、过点 $(0, m)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线恰有3条，则 $- 2 < m < 0$

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11. 选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作 $Γ_{k} (θ)$ 为“将正方体绕直线 $P Q$ 旋转 $θ$ 角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（）

A、 $Γ_{1} (90 °)$ ， $Γ_{2} (180 °)$ B、 $Γ_{1} (40 °)$ ， $Γ_{2} (40 °)$ ， $Γ_{3} (40 °)$ C、 $Γ_{1} (90 °)$ ， $Γ_{2} (60 °)$ D、 $Γ_{1} (75 °)$ ， $Γ_{2} (15 °)$ ， $Γ_{3} (60 °)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 10^{- x}, x < 1, \\ \lg x, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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13. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且 $P F ⊥ Q F$ . 若直线 $P Q$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线E的离心率为.

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14. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求q和 $a_{1}$ ；

(2)、求 $S_{n}$ .

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16. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为2，点M是棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、设点Q在棱 $A B$ 上，求平面 $P D Q$ 与平面 $B D M$ 所成角的余弦值的最大值.

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17. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：
等待时间
$[0, 5)$
$[5, 10)$
$[10, 15)$
$[15, 20)$
频数
20
14
10
6

(1)、估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、记乘客等待时间为 $X$ ，随机变量X服从指数分布，且 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率为 $P (X \leq x) = 1 - e^{- \frac{x}{10}} (x \geq 0)$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.
（i）证明：对于任意的 $s, t > 0$ ，有 $P (X > s + t |X > s) = P (X > t)$ ；
（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为 $Y$ （单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若 $0 \leq Y \leq 10$ ，则坐公交车（费用2元）；若 $Y > 10$ ，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.

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18. 已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，顶点为 $O$ ，点 $A (4, 4)$ 在 $Γ$ 上.

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $M (t^{2}, 2 t) (t > 0)$ 在 $Γ$ 上，过M且斜率为2的直线交 $O A$ 于点Q，令 $\vec{M Q} = \vec{Q P}$ .
（i）求点P的坐标（用t表示）；
（ii）设直线 $O P$ 与 $Γ$ 的另一个交点为N，焦点F到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.

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19. （1）已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，证明： $\sin x < x < \tan x$ ；
（2）设 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\tan x - x > λ (x - \sin x)$ 恒成立，求正整数 $λ$ 的最大值；
（3）求证： $\sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{\tan \frac{π}{4^{k}}} + \sqrt{\sin \frac{π}{4^{k}}}) > 2 \sqrt{π} (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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规格	一号	二号	三号	四号	五号
尺寸（单位：cm）	288×192	240×160	192×128	144×96	96×64

等待时间	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$
频数	20	14	10	6