阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

问题解决：

下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务．

作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M ， 交OB于点N.

（II）分别以点M ， N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.

（III）画射线OC ， 则射线OC即为所求.

平面上两点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）之间的距离表示为$\left|P_1{P}_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$ ， 称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为$\sqrt{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-\mathrm{b}\right)}^2}=\mathrm{r}$ ， 变形可得：${\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-\mathrm{b}\right)}^2={\mathrm{r}}^2,$我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.

在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.

例如：一个三角形三个内角的度数分别是 $120^{°}$ ，  $40^{°}$ ，  $20^{°}$ ， 这个三角形就是一个“3倍角三角形”.反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，

任务：

倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．

【探究对象】倍角三角形的性质

【探究思路】从特殊到一般

【性质发现】

在$△ABC$中，若$\angle A=2\angle B$ ， 则$△ABC$是倍角三角形，其中$a$ ， $b$ ， $c$分别是$\angle A$ ， $\angle B$ ， $\angle C$的对边．

如图1，当$\angle B=30°$ ， $b=1$时，$a^2-b^2=2$ ， $bc=$________

若$\angle B=45°$ ， $b=1$时，$a^2-b^2=$________，$bc=$________．

【性质猜想】如图2，$a$ ， $b$ ， $c$之间的数量关系是：________．

【证明猜想】如图3，延长$CA$到点$D$ ， 使$AD=AB$ ，

……

任务1：请将“________”的内容补充完整；

任务2：结合图3，完成“证明猜想”；

【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：

如图4，在$△ABC$中，$CD$平分$\angle ACB$ ， 且$CD=BD$ ， 若$AC$ ， $AB$ ， $BC$的长度恰好是三个连续的正整数，请求出$BC$的长．

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.

半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.

点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：

将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°

∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°

∴△APP'是等边三角形

∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°

∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'

∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°

∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.

【基础应用】

已知在△ABC中，. $\angle B=90^{\circ }，$点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若$\angle ADB=\angle ACB$ ， 则$A,B,C,D$四点共圆；或若$\angle ADC+\angle ABC=180°$ ， 则$A,B,C,D$四点共圆．

火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：

已知正方形$ABCD$和正方形$AEGF$共顶点A，把正方形$AEGF$绕点A顺时针旋转一定的度数，连接$BG$ ， 探究$BG$的长．

【问题探究】

（1）如图（1），若正方形$AEGF$的边$AF$落在正方形$ABCD$的边$AD$上时，当$AE=5,AB=7$时，$BG=$_________；

（2）如图（2），当$AE=2$ ， 正方形$AEGF$的边$GF$的中点刚好落在点D时，求$BG$的长．

（3）阅读材料并解决问题：

在$\text{Rt}△ACB$中，设其中一个锐角$\angle A$度数为$\alpha$ ，

则$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$ ，

$\therefore {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$ ，

$\because \angle C=90°$ ， 根据勾股定理：在$\text{Rt}△ACB$中：$a^2+b^2=c^2$ ，

$\therefore {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$

请运用以上材料的结论，完成以下探究：

一般情形，如图（3），当旋转度数为$m\left(45°<m<90°\right),AB=a,AE=b$ ， 请你用含有a，b，m的式子直接表示出$BG$的长．

【拓展应用】

（4）如图（4），已知长方形$ABCD$和长方形$AEFG$全等，把长方形$AEFG$绕点A顺时针旋转，当$AE$所在的直线恰好过$BG$的中点O时，当$AB=6,BC=3$时，请直接写出$BG$的长．

【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．

素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ． 例如在图1中，点$C$为线段$AB$上一点，若$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$ ， 则点$C$为线段$AB$的黄金分割点．从数据上可描述为：点$C$为线段$AB$上一点，若$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ， 则点$C$为线段$AB$的黄金分割点．

素材2：宽与长之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形．

【特例感知】

（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ ， 呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是$154\text{cm}$ ， 下半身长$92\text{cm}$ ． 试通过计算说明小军选择$6\text{cm}$高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在$0.618\pm 0.02$范围内认为是可以的）；

（2）如图3，在黄金矩形$ABCD$中，长$AD=2$ ， 则矩形$ABCD$的面积$=$__________；

【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：

第一步，准备一张宽$MN=2a$ ， 长$MR$足够的矩形纸片$NMRT$ ， 利用图4的方法折出一个正方形$NMAD$ ， 然后把纸片展平；

第二步，如图5，把正方形$NMAD$折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到$MA$ ， $ND$的中点$P$ ， $Q$；

第三步，折出矩形$QPAD$的对角线$PD$ ， 并把$PD$折到如图6中的$PB$处；

第四步，展平纸片，如图7，过点$B$折出$BC\perp MR$交$NT$于点$C$ ， 得到矩形$ABCD$ ．

小军得到两个结论：点$A$为线段$MB$的黄金分割点，所得矩形$ABCD$是黄金矩形．

【问题解决】

（3）请你证明小军的上述结论是否正确；

（4）如图8，以$AB$为边折出正方形$ABEF$ ， 延长$EF$交$MN$于点$H$ ， 如图9，得到矩形$NHFD$ ， 请证明$S_{\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}ABEF}=S_{\mathrm{矩}\mathrm{形}NHFD}$ ．

【思维指引】（1）如图1等边$△ABC$内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求$\angle APB$的度数.

解决此题，我们可以将$△ABP$绕顶点A旋转到$△AC{P}^{\mathrm{\text{'}}}$处，此时$△AC{P}^{\mathrm{\text{'}}}≌△ABP$ ， 连接$P^{\mathrm{\text{'}}}P$ ， 借助旋转的性质可以推导出$△PA{P}^{\mathrm{\text{'}}}$是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 $PA、PB、PC$转化到一个三角形中，从而求出$\angle APB=$______${}^{\circ }$；

【知识迁移】（2）如图2，在$△ABC$中，$\angle CAB=90°$ ， $AB=AC$ ， E、F为$BC$上的点且$\angle EAF=45°$ ， 请判断$EF$ ， $BE$ ， $FC$的数量关系，并证明你的结论.

【方法推广】（3）如图3，在$△ABC$中，$\angle ABC=30°$ ， $AB=2$ ， $BC=3$ ， 点P为$△ABC$内一点，连接$PA、PB、PC$ ， 直接写出$PA+\sqrt{2}PB+PC$的最小值.

定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中$\angle CBD$即为弦切角．

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．

下面是弦切角定理的证明过程：

①如图1．已知：$A$为圆上任意一点，当弦$AB$经过圆心$O$ ， 且$DB$切$\odot O$于点$B$时，易证：弦切角$\angle CBD=\angle A$ ．

②如图$2$ ． 当点$A$是优弧$BC$上任意一点，$DB$切$\odot O$于点$B$ ． 求证：弦切角$\angle CBD=\angle A$ ．

证明：连接$BO$并延长交$\odot O$于点$N$ ， 连接$CN$ ， 如图2所示．

$\because DB$与$\odot O$相切于点$B$ ，

$\therefore \angle NBD=$   ▲    ，

$\therefore \angle CBD+\angle CBN={90}^{°}$ ，

$\because BN$是直径，

$\therefore$   ▲   （直径所对的圆周角是直角），

$\therefore \angle N+\angle CBN={90}^{°}$ ，

$\therefore \angle CBD=\angle N$ ，

又$\because$   ▲   （同弧所对的圆周角相等），

$\therefore \angle CBD=\angle A$ ．

完成下列任务：

（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．

①类型一，“定点$+$定长”：

如图1，在$△ABC$中，$AB=AC$ ， $\angle BAC=56°$ ， D是$△ABC$外一点，且$AD=AC$ ， 求$\angle BDC$的度数．

解：由题意，若以点$A$（定点）为圆心，$AB$（定长）为半径作辅助圆$\odot A$（可在图1中画出辅助圆$\odot A$），则点$C$、$D$必在$\odot A$上，$\angle BAC$是$\stackrel{⌢}{BC}$所对的圆心角，而$\angle BDC$是$\stackrel{⌢}{BC}$所对的圆周角，从而可容易得到$\angle BDC=$________$°$ ．

②类型二，“定角$+$定弦”：

如图2，$\text{Rt}△ABC$中，$AB\perp BC$ ， $AB=12$ ， $BC=8$ ， $P$是$△ABC$内部的一个动点，且满足$\angle PAB=\angle PBC$ ， 求线段$PC$长的最小值．

请将以下解题过程补充完整．

解：∵$\angle ABC=90°$ ，

∴$\angle ABP+\angle PBC=90°$ ，

∵$\angle PAB=\angle PBC$ ，

∴$\angle ABP+\angle PAB=90°$ ，

∴$\angle APB=$_______$°$ ， （定角）

∴点$P$在以$AB$（定弦）为直径的$\odot O$上，

如图2，连接$OC$交$\odot O$于点$P$ ， 此时$PC$最小．

请完成后面的解题过程．

（2）【方法应用】如图3，在矩形$ABCD$中，已知$AB=6$ ， $BC=8$ ， 点$P$是$BC$边上一动点（点P不与B，C重合），连接$AP$ ， 作点$B$关于直线$AP$的对称点$M$ ， 则线段$MC$的最小值为________（直接写结果）．

（3）【能力拓展】如图4，在正方形$ABCD$中，$AD=10$ ， 动点E，F分别在边$DC$ ， $CB$上移动，且满足$DE=CF$ ． 连接$AE$和$DF$ ， 交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点$P$的运动路径长．

小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形$ABCD$中，点$E$、$F$分别为$DC$、$BC$边上的点，$\angle EAF=45°$ ， 连接$EF$ ， 求证：$DE+BF=EF$ ． 小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将$△ADE$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ABG$（如图$2$），此时$GF$即是$DE+BF$ ．

（1）在图2中，$\angle GAF$的度数是            （直接写答案）．

参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图3，在直角梯形$ABCD$中，$AD\text{∥}BC$（$AD>BC$），$\angle D=90°$ ， $AD=CD=10$ ， $E$是$CD$上一点，若$\angle BAE=45°$ ， $DE=4$ ， 求$BE$的长度．

（3）如图4，$△ABC$中，$AC=4$ ， $BC=6$ ， 以$AB$为边作正方形$ADEB$ ， 连接$CD$ ． 当$\angle ACB=$             时，线段$CD$有最大值，并求出$CD$的最大值．

点$P$在平面直角坐标系中，记点$\mathrm{ }P$到$x$轴的距离为$d_1$ ， 到$y$轴的距离为$d_2$ ， 给出以下定义：若$\mathrm{ }$$d_1\le d_2\mathrm{，}$则称$d_1$为点$\mathrm{ }P$的“微距值”；若$\mathrm{ }$$d_1>d_2\mathrm{，}$$\mathrm{ }$则称$d$₂为点$\mathrm{ }P$的“微距值”；特别地，若点$P$在坐标轴上，则点$P$的“微距值”为$0$ ． $\mathrm{ }$例如，$\mathrm{ }$点$P\left(-3,5\right)$到$x$轴的距离为$5$ ， $\mathrm{ }$到$y$轴的距离为$3$ ， $\mathrm{ }$因为$3<5$ ， $\mathrm{ }$所以点$\mathrm{ }P$的“微距值”为$3$ ．

【知识应用】

平面上两点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）之间的距离表示为$\left|P_1{P}_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$ ， 称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为$\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}=r$ ， 变形可得：（x﹣a）²+（y﹣b）²＝r² ， 我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程（x﹣1）²+（y﹣2）²＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.

观察应用：