阅读理解（代数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．

化简：${\left(\sqrt{1-5a}\right)}^2-\left|1-a\right|\mathrm{．}$

解：由题意可知隐含条件$1-5a\ge 0\mathrm{，}$解得：$a\le \frac{1}{5}$ ，

∴$1-a>0$ ，

∴${\left(\sqrt{1-5a}\right)}^2-\left|1-a\right|=1-5a-\left(1-a\right)=1-5a-1+a=-4a$ ．

启发应用：

（1）按照上面的解法，化简：$\sqrt{{\left(m-5\right)}^2}-{\left(\sqrt{3-m}\right)}^2$；

类比迁移：

（2）已知$△ABC$的三边长分别为${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ ， $\sqrt{{\left(x+y\right)}^2}$ ， ${\left(\sqrt{y-x}\right)}^2$ ， 请求出$△ABC$的周长．（用含有$x、y$的代数式表示，结果要求化简）

拓展延伸：

（3）若${\left(\sqrt{x-4}\right)}^2+\sqrt{{\left(x-7\right)}^2}=3$ ， 请直接写出$x$的取值范围．

我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.

你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵$\sqrt[3]{1000}=10\text{,}\sqrt[3]{1000000}=100$ ， 又∵1000＜59319＜1000000，

∴$10<\sqrt[3]{59319}<100$ ， ∴能确定59319的立方根是个两位数.

②59319的个位数是9，又∵9³=729，能确定59319的立方根的个位数是9.

③若划去59319后面的三位319得到数59，而$\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{5}9<\sqrt[3]{64}$ ， 则$3<\sqrt[3]{59}<4$ ， 可得$30<\sqrt[3]{59319}<40$ ， 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.

任务：

把形如$a+bi$ (a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算：$\mathrm{(}2-i\mathrm{)}+\mathrm{(}5+3i\mathrm{)}=\mathrm{(}2+5\mathrm{)}+\mathrm{(}-1+3\mathrm{)}i=7+2i$ ，

$\mathrm{(}1+i\mathrm{)}\times \mathrm{(}2-i\mathrm{)}=1\times 2-1\times i+2\times i-i^2=2+\mathrm{(}-1+2\mathrm{)}i+1=3+i$ ，

$i^3=i^2\times i=-1\times i=-i$ ，     $i^4=i^2\times i^2=-1\times \mathrm{(}-1\mathrm{)}=1$.

根据以上信息，完成下列问题.

定义：若分式$A$和分式$B$满足$A-B=n$（$n$为正整数），则称$A$是$B$的“$n$差分式”．

例如： $\frac{3x}{x-1}-\frac{3}{x-1}=3\text{，}$我们称 $\frac{3x}{x-1}$是 $\frac{3}{x-1}$的“$3$差分式”，

解答下列问题：

已知实数$x$、$y$满足$x-y=4\mathrm{,}xy=-1$ ， 计算$x^3-y^3$的值．

解：因为$x^2+y^2={\left(x-y\right)}^2+2xy=16+2\times \left(-1\right)=14$ ，

所以$x^3-y^3=\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)+xy\left(x-y\right)=14\times 4+\left(-1\right)\times 4=52$ ．

借鉴上面的方法，解决下列问题：

若实数a、b满足$a-b=3\mathrm{,}ab=-1$ ．

例如，$\left[3.2\right]=3$ ， $\left[5\right]=5$ ， $\left[-2.1\right]=-3$ ， 那么，$x=\left[x\right]+a$ ， 其中$0\le a<1$ ．

例如，$3.2=\left[3.2\right]+0.2$ ， $5=\left[5\right]+0$ ， $-2.1=\left[-2.1\right]+0.9$ ．

请你解决下列问题：

（1）$\left[4.8\right]=$__________，$\left[-6.5\right]=$__________；

（2）如果$\left[x\right]=5$ ， 那么x的取值范围是__________；

（3）如果$\left[5x-2\right]=3x+1$ ， 那么x的值是__________；

（4）如果$x=\left[x\right]+a$ ， 其中$0\le a<1$ ， 且$4a=\left[x\right]+1$ ， 求x的值．

【举例】已知点$A\left(1\mathrm{,}3\right)$在函数$y=2x+1$图象上．点$A\left(1\mathrm{,}3\right)$的“纵横值”为$y-x=3-1=2$；函数$y=2x+1$图象上所有点的“纵横值”可以表示为$y-x=2x+1-x=x+1$ ， 当$3\le x\le 6$时，$x+1$的最大值为$6+1=7$ ， 所以函数$y=2x+1\left(3\le x\le 6\right)$的“最优纵横值”为7．

【问题】根据定义，解答下列问题：

步骤一：在直角坐标系内的$x$轴上取任意三个点$A$（$A$不在原点），$B$ ， $C$ ， 度量三个点的横坐标，分别记为$a$ ， $b$ ， $c$；

步骤二：绘制函数$y=a{x}^2+bx+c$；

步骤三：任意移动$A$ ， $B$ ， $C$三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．

问题：如图2，将点$A$移动到点$\left(-1,0\right)$的位置．

解：设$x^2-3x=0$ ， 解得，$x_1=0$ ， $x_2=3$ ， 则抛物线$y=x^2-3x$与x轴的交点坐标为$\left(0\mathrm{,}0\right)$和$\left(3\mathrm{,}0\right)$.画出二次函数$y=x^2-3x$的大致图象（如图所示），由图象可知：当$x<0$或$x>3$时函数图象位于x轴上方，此时$y>0$ ， 即$x^2-3x>0$ ， 所以一元二次不等式.$x^2-3x>0$的解集为$x<0$或$x>3$.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

点$P$在平面直角坐标系中，记点$\mathrm{ }P$到$x$轴的距离为$d_1$ ， 到$y$轴的距离为$d_2$ ， 给出以下定义：若$\mathrm{ }$$d_1\le d_2\mathrm{，}$则称$d_1$为点$\mathrm{ }P$的“微距值”；若$\mathrm{ }$$d_1>d_2\mathrm{，}$$\mathrm{ }$则称$d$₂为点$\mathrm{ }P$的“微距值”；特别地，若点$P$在坐标轴上，则点$P$的“微距值”为$0$ ． $\mathrm{ }$例如，$\mathrm{ }$点$P\left(-3,5\right)$到$x$轴的距离为$5$ ， $\mathrm{ }$到$y$轴的距离为$3$ ， $\mathrm{ }$因为$3<5$ ， $\mathrm{ }$所以点$\mathrm{ }P$的“微距值”为$3$ ．

【知识应用】

小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是$8$ ， 个位上的数的和等于$10$），猜想其中哪个积最大，并说明理由．

$81\times 89$ ， $82\times 88$ ， $83\times 87$ ， ……，$87\times 83$ ， $88\times 82$ ， $89\times 81$

小明结合已学知识做了如下尝试：

设两个乘数的积为$y$ ， 其中一个乘数的个位上的数为$x$ ， 则另一个乘数个位上的数为$(10-x)$ ，

根据题意得：

$y=(80+x)[80+(10-x)]=$$(80+x)(90-x)=-(x+80)(x-90)$

……

（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积；

（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是$7$ ， 十位上的数与个位上的数组成的数的和等于$100$），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．

$701\times 799$ ， $702\times 798$ ， $703\times 797$ ， ……，$797\times 703$ ， $798\times 702$ ， $799\times 701$

材料1：观察数轴可知，当x>0时，随着x的不断增大，$\frac{1}{x}$的值随之减小，并无限接近0；当$x<0$时，随着x的不断增大，$\frac{1}{x}$的值也随之减小.

材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：

$\frac{2x+1}{x-4}=\frac{2x-8+8+1}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}+\frac{8+1}{x-4}=2+\frac{S}{x-4}.$根据上述材料完成下列问题：

备用图

【提出问题】

若抛物线 $y_1=\frac{1}{4}{x}^2+b_{1}x+c_1,y_2=-\frac{1}{4}{x}^2+b_{2}x+c_2$都是平衡抛物线，抛物线y₁的对称轴为直线x=-3.抛物线y₂的对称轴为直线x=n.点A （m，p)在抛物线y₁上，点B（2n-m，q) 在抛物线y₂上， 点C与点B关于直线x=n对称.设（ $d=\mid p-q\mid .$

【解决问题】

【阅读材料】

生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．

【问题探究】

（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）

（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个$2\times 2$版本的二维码，在相邻的两边分别增加$a$个方格和$b$个方格，构成$(2+a)(2+b)$新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：

$a^2+b^2=37,a-b=5$ ． 求扩展后的二维码共有多少个方格？

【实践应用】

（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用$n\times m$（$n$行$m$列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求$n$和$m$为正整数，则$n+m$的最小值为_____________．

【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．

【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．

【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．

【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：

延庆区某校七年级共10个班，综合实践小组的同学对本校七年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调查．围绕着“你最喜欢的是哪一类课外书？（只写一项）”的问题，对该校七年级学生进行了随机抽样调查．

收集数据

A ． 文学类        B ． 艺体类         C ． 科普类        D ． 其他

通过调查得到的一组数据如下：

A  C  C  A  D  A  B  A  C  B  B  A  D  C  A  A  B  C  C  A

A  C  B  D  A  A  B  D  A  A  B  B  C  C  A  C  A  C  D  A

B  D  B  C  A  D  A  D  C  A  A  C  B  D  A  A  D  C  A  A

B  B  C  C  D  C  A  A  B  A  A  C  C  A  D  A  B  A  A  B

整理、描述数据

综合实践小组的同学对抽样调查的数据进行整理，绘制了如下统计图表（不完整）：

根据以上信息，回答下列问题：

①表1中的a = ，b = ；

②请将图1补充完整；

③图2中， ，“文学类”部分扇形的圆心角是  $°$ ；

④若该校七年级共有学生360人，根据调查结果估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有 人．

信息一.综合指数得分的频数直方图（数据分成6组：$65\mathrm{.}0\le x<70\mathrm{.}0$ ， $70\mathrm{.}0\le x<75\mathrm{.}0$ ， $75\mathrm{.}0\le x<80\mathrm{.}0$ ， $80\mathrm{.}0\le x<85\mathrm{.}0$ ， $85\mathrm{.}0\le x<90\mathrm{.}0$ ， $90\mathrm{.}0\le x<95\mathrm{.}0$）：

（数据来源于网络《2021年中国城市科技创合指数报告》）

信息二.综合指数得分在$70\mathrm{.}0\le x<75\mathrm{.}0$这一组的是：$70\mathrm{.}0$ ， $70\mathrm{.}4$ ， $70\mathrm{.}6$ ， $70\mathrm{.}7$ ， $71\mathrm{.}0$ ， $71\mathrm{.}0$ ， $71\mathrm{.}1$ ， $71\mathrm{.}2$ ， $71\mathrm{.}8$ ， $71\mathrm{.}9$ ， $72\mathrm{.}5$ ， $73\mathrm{.}8$ ， $74\mathrm{.}0$ ， $74\mathrm{.}4$ ， $74\mathrm{.}5$ ， $74\mathrm{.}6$.

信息三.40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

材料

题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率

题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？

我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球

问题：