数学探究—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-13 类型：三轮冲刺

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一、数与式探究主题

1. 2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
22＝1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰＝10110₂ ．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
22＝2×3²+1×3¹+1×3⁰＝211₃ ．
将二进制数1011₂化为三进制数为（　　）

A、102₃ B、101₃ C、110₃ D、12₃

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2. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）

A、 $- 1$ 或 $- 4$ B、1或 $- 4$ C、 $- 1$ 或4 D、1或4

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3. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在 $3 \times 3$ （三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 $x^{y} =$ ．

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4. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．

主题

探究月历与幻方的奥秘

活动一

图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．

（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则 $a$ 是， $b$ 是；

（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则 $c$ 是， $d$ 是；

（注：用含 $n$ 的代数式表示 $c$ 和 $d$ ．）

活动二

移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．

（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则 $e$ 是， $f$ 是；

（4）若方框选取的数中最小的数是 $n$ ，调整后，部分数的位置如图6所示，则 $g$ 是（用含 $n$ 的代数式表示 $g$ ）．

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5. 综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， ${(1011)}_{2}$ 就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ．如： $3721 = 3 \times 10^{3} + 7 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 1 \times 10^{0}$ ； ${(421)}_{7} = 4 \times 7^{2} + 2 \times 7^{1} + 1 \times 7^{0}$ ．
【解决问题】

(1)、我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为： $4 \times 7^{1} + 2 = 30$ ），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天

(2)、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如 ${(11011)}_{2} + {(1101)}_{2} = {(101000)}_{2}$ ；
写出 ${(11011)}_{2} - {(1101)}_{2} =$ ________________

(3)、小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．

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二、图形与几何探究主题

6. 赵老师在七年级“综合与实践——探寻传统益智玩具中的数学”主题活动中，带领同学们认识了中国古代益智玩具“七巧板”．活动过程中，同学们不仅动手拼图，还发现了部分图形之间的面积关系，如④和⑦的面积相等，①的面积是④的2倍等．图1 是完整的七巧板分割示意图，小华同学根据历史故事“昭陵六骏”创作的“人物骑马”拼图作品如图2所示，该作品中“人”由④⑦两小块拼成，且面积为32cm² ，剩余部分拼成“马”，则“马”的面积为( )

A、 $64 c m^{2}$ B、 $80 c m^{2}$ C、 $96 c m^{2}$ D、 $112 c m^{2}$

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7. 七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积 $S_{3} = 2$ ，则图中标有5的正方形的面积 $S_{5}$ 的值为．

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8. 综合与实践
七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱.下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题．

(1)、“巧手”小组的同学准备了一张边长为 $a$ 的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为 $b$ 的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面 $A B C D$ 中，边 $A B =$ ，边 $B C =$ （用含a、b的式子表示）．

(2)、“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为 $x$ ，宽为 $y$ ，且宽 $y$ 小于长 $x$ ．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况）

(3)、“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，如图4，由于摆放位置的不同，使得表面积不一样．他们发现乙种方式摆放的表面积更大，请计算乙种方式摆放的表面积比甲方式大多少？（用含 $x$ 和 $y$ 的式子表示）

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9. 综合与实践
【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为 $x cm$ 的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积 $V {(cm)}^{3}$ 有最大值？
【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示：
边长 $x / cm$
1
2
3
4
5
纸盒容积 ${V/cm}^{3}$
64
a
b
16
0

(1)、【操作·分析】
①上表中，a=______，b=______；
②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）；
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

(2)、【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm³：

(3)、【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到 $0.1 {cm}^{3}$ ）．

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三、统计概率探究主题

10. 【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是 $x$ ， $y$ ， $z$ ．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件： $x + y + z = 1$ ， $x + y > z$ ， $x - y < z$ ， $y - x < z$ 等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将 $x + y = 1 - z$ ，代入 $x + y > z$ ，这就是一个一元一次不等式，可以得到 $z$ 的取值范围是 $0 < z < \frac{1}{2}$ ．
解决问题：

(1)、任务1：
①同理可得， $x$ 的取值范围是 ▲ ， $y$ 的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点 $O$ ，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现， $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ 与 $h$ 存在数量关系： $h_{1} + h_{2} + h_{3} = h$ ，请给出证明．

(2)、任务2：根据以上构造，设 $x = h_{1}$ ， $y = h_{2}$ ， $z = h_{3}$ ，则 $x + y + z = h_{1} + h_{2} + h_{3} = 1$ ， $x$ ， $y$ ， $z$ 只需要满足以上的不等式即可．请在图3的 $△ A B C$ 中，用阴影部分标记出 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）

(3)、任务3：阴影部分的面积与 $△ A B C$ 面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．

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11. 某校数学兴趣小组为调查学校七八年级学生对A、B两款刷卡系统的满意度，设计了如下的调查问卷，并在全校七八年级学生中随机抽取20名同学完成下列问卷：

对学校A、B两款刷卡系统的满意度调查

1、请你分别为学校A、B两款刷卡系统打分A系统：____分、B系统：____分

提示：满分是100分，最低分0分，分值 $\leq 70$ 分为不满意， $70 < x \leq 80$ 为比较满意， $80 < x \leq 90$ 为满意， $90 < x \leq 100$ 为非常满意

通过小组内学生对信息的收集和整理得到了以下调查报告（不完整）

调查目的	1、调查学校七八年级学生对A、B两款刷卡系统的满意度； 2、给学校刷卡系统提出合理建议。
调查方式	抽样调查		调查对象	七八年级部分学生
调查结果	A款		B款
	A款所有打分为：68、69、76、78、81、 84、85、86、87、87、87、89、95、97、 98、98、98、98、99、100		其中 $80 < x \leq 90$ 的所有数据为：87、85、87、83、85、89
	评分统计表
	系统	平均数	中位数	众数	非常满意占比
	A	88	87	b	c
	B	88	a	96	45%
建议

(1)、填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、该校七八年级共有800人，估计七八年级学生对A款系统“比较满意”的人数？

(3)、根据以上数据，你认为哪一款刷卡系统更受七八年级学生的欢迎？请说明理由（写一条即可）.

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12. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长 $y$ （单位： $c m$ ），宽 $x$ （单位： $c m$ ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.8
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
【实践探究】分析数据如下：

平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
3.75
n
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
m
2.0
0.0669
【问题解决】

(1)、上述表格中： $m =$ ， $n =$ ；

(2)、① $A$ 同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别小．"
② $B$ 同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是（填序号）；

(3)、现有一片长 $25 c m$ ，宽 $6.5 c m$ 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由．

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四、函数探究主题

13. 综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
发现：①开始刹车后行驶的距离 $y$ （单位： $m$ ）与刹车后行驶的时间 $t$ （单位： $s$ ）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；

(3)、若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．

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14. 问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
外形参数；
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L₁ ，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L₂组成.抛物线L₁的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L₂的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L₂上，点H，G在抛物线L₁上.
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：

(1)、直接写出B，C，D三点的坐标；

(2)、直接写出抛物线L₁和L₂的顶点坐标，并分别求出抛物线L₁和L₂函数表达式.

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15.

《观景拱桥的设计》
项目背景	某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 $A B C$ ，其横截面如图所示：
任务1	建立模型	⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点 $C (0, 5)$ ， $B (10, 0)$ （长度单位： $m$ ）．求出抛物线的解析式．
任务2	利用模型	⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形 $E F G H$ （ $H$ 、 $G$ 分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面 $E G$ ．已知“脚手架” $E F G H$ 的三边所用钢材长度为 $18.4 m$ （ $E F$ 在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点 $E$ 与拱桥端点 $A$ 的距离．
任务3	分析计算	⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点 $O$ 处 $12$ 米的地面 $M$ 、 $N$ 处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $45 °$ 角，如图 $3$ 所示，光线交汇点 $P$ 在拱桥 $O C$ 的正上方，其中光线 $N P$ 所在的直线解析式为 $y = - x + 12$ ，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）

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16. 素材1：小明家共有 $120 m$ 长的篱笆，小明爸爸准备用这些篱笆围成一个长方形菜地，并设计了如下三种方案（如图1）供选择，其中乙、丙两种方案分别围出了2个、6个小长方形，每种方案的篱笆总长均为 $120 m$ ．爸爸已经算出方案丙中，当 $E F = 15 m$ 时，所围的菜地面积最大．
任务1：（1）在方案甲中， $A B$ 长为 m时，所围菜地面积最大，最大面积为 $m^{2}$ ；
任务2：（2）请帮忙计算方案乙所围菜地面积的最大值；
素材2：爱思考的小明发现，当三种方案的菜地面积分别达到最大值时，每种方案横向的篱笆总长（即 $2 A B$ ， $3 C D$ ， $4 E F$ ）存在某种特殊的规律．
任务3：（3）①请猜想各方案中，当菜地面积最大时横向的篱笆总长所存在的规律；
②小明为了证明上述猜想具有一般性，设计了如图2所示的方案：用总长为l的篱笆围成长方形菜地，其中横向篱笆m条，纵向篱笆n条．请利用该方案证明上述猜想具有一般性．

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17. 根据以下素材，探索完成任务

设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面 $h$ 米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从 $A$ 点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1.	图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从 $A$ 点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度 $h = 0.8$ 米，挡板1至 $O$ 点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2.	图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离 $O$ 点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离 $O$ 点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II.	图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以 $O$ 点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离 $d$ 要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。

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18. 定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.

(1)、【初步理解】
现有以下两个函数： $① y = x^{2} - 1; ② y = x^{2} - x,$ 其中，为函数 y=x-1的轴点函数.(填序号)

(2)、【尝试应用】
函数 y=x+c (c为常数， c>0) 的图象与 x轴交于点 A，其轴点函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 x轴的另一交点为点 B.若 $O B = \frac{1}{4} O A,$ 求 b的值.

(3)、【拓展延伸】
如图，函数 $y = \frac{1}{2} x + t$ (t为常数，t>0)的图象与 x轴、y轴分别交于 M，C两点，在 x轴的正半轴上取一点 N，使得 ON=OC.以线段 MN的长度为长、线段 MO的长度为宽，在 x轴的上方作矩形 MNDE.若函数 $y = \frac{1}{2} x + t$ (t为常数，t>0)的轴点函数 $y = m x^{2} + n x + t$ 的顶点 P在矩形 MNDE的边上，求 n的值.

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19.

项目式学习

问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．

【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 $A B$ 的影子为 $B C$ ，小明（ $D E$ ）站在路灯旁边，影子为 $E F$ ．经测量， $B C$ 长2米， $E F$ 长0.5米，小明的身高为1.5米．

【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯 $A B$ 的影子重合，测得小明的影子 $G H$ 的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）

【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下：

高度/米	4	6	8	10
照明亮度的平方/勒克斯 $^{2}$	450	300	225	180
照明范围/平方米	$\frac{16}{3} π$	$12 π$	$\frac{64}{3} π$	$\frac{100}{3} π$

（假设整个照明范围内的照明亮度相等）

同学们搜集了一则材料：

根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．

【问题探究】

(1)、在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯

A B

的高度：．

(2)、在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯

A B

的高度．

(3)、在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．

(4)、在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造个路灯．

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20. 问题提出

(1)、如图①， $A B ⊥ B C, C D ⊥ B C, E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，当 $∠ A E D = 90 °$ 时， $∠ A + ∠ D =$ $°$ ．

(2)、问题探究
如图②，在边长为6的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 边上任意一点，连接 $D E$ ，并作 $∠ D E F = 60 °$ ，使得 $∠ D E F$ 的一边与 $A C$ 交于点 $F$ ，试求出 $C F$ 的最大值．

(3)、问题解决
如图③，四边形 $A B C D$ 为某美食商业区的平面示意图，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 80 m$ ， $B C = C D = 100 m$ ．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在 $B C$ 上选取一点M， $C D$ 上选取一点 $N$ ，连接 $A M$ 、 $A N$ 、 $M N$ ，构造 $△ A M N$ ．已知点 $A$ 为美食商业区的出入口， $t a n ∠ A M N = \frac{4}{3}$ ，设 $B M = x m, N C = y m$ ．
（i）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点 $N$ 与点 $C$ 的距离足够远，请你根据需求计算出当 $N C$ 最大时 $△ A M N$ 的面积．

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	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
芒果树叶的长宽比	3.8	3.8	3.5	3.4	3.8	4.0	3.6	4.0	3.6	4.0
荔枝树叶的长宽比	2.0	2.0	2.0	2.4	1.8	1.9	1.8	2.0	1.3	1.9

刹车后行驶的时间	0	1	2	3
刹车后行驶的距离y	0	27	48	63

边长 $x / cm$	1	2	3	4	5
纸盒容积 ${V/cm}^{3}$	64	a	b	16	0

	平均数	中位数	众数	方差
芒果树叶的长宽比	3.74	3.75	n	0.0424
荔枝树叶的长宽比	1.91	m	2.0	0.0669