学科融合—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

试卷更新日期：2026-05-12 类型：三轮冲刺

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一、学科融合--光线中数学应用

1. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=( )

A、30° B、40° C、50° D、60°

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2. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知图片AB长为3dm，若点光源O到胶片的距离OE长为6dm，点光源O与屏幕的距离OF的长为18dm，则影像CD长为 ( ) dm

A、36 B、12 C、9 D、6

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3. 根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像。如图所示，物体AB 到凸透镜EF的距离OA=8，凸透镜的焦距 $O F_{1} = O F_{2} = 3,$ 则实像与物体的比值 $\frac{C D}{A B}$ 为( )

A、38 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是厘米．

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5. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律，如图 MN为凸透镜，其厚度忽略不计 O为凸透镜 MN的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛 AB，透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线 AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 AO汇聚于点 C.若物距 OB=6cm，像距 OD=12cm，则凸透镜 MN的焦距 OE的长为cm.

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6. 如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°，则∠EPF 的度数是 .

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二、学科融合--物理实验中数学应用

7. 如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（）.

A、y=60x B、 $y = \frac{x}{60}$ C、 $y = \frac{60}{x}$ D、y=50x

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8. 综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B 的左侧。
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得x·y=m·n，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离。
根据以上素材解决如下问题：

(1)、当m=60g， n=5cm时，求y(单位： cm) 关于x(单位： g) 的函数解析式；

(2)、当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重。提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对(x，y)，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作。如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则(填序号)是提起秤纽B时得到的图象；

(3)、甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重。
当m=100g时，哪个小组得到的y值误差更大?
甲组的误差计算如下：
记nA为秤纽A与秤盘之间的水平距离，x组为秤砣磨损后的质量， yp与y甲损为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
$y_{甲} = \frac{100 n_{A}}{x}, y_{甲} = \frac{100 n_{A}}{x_{棱锥侧}},$ 所以甲组的误差为 $\frac{100 n_{A}}{x_{棱锥侧}} - \frac{100 n_{A}}{x};$
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论。

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9. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是 $9 dm$ ，物体C到定滑轮A的垂直距离是 $12 dm$ ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）

(1)、求绳子的总长度；

(2)、如图2，若滑块B向左滑动了 $7 dm$ ，求此时物体C升高了多少 $dm$ ？

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10. 综合与实践．
实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在 $A$ 处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度 $v_{t}$ ，（单位： $cm / s$ ）随滚动时间 $t$ （单位：s）变化的数据，整理得下表．
滚动时间 $t (s)$
0
1
2
3
4
滚动速度 $v_{t} (cm / s)$
10
9.5
9
8.5
8
（一）解决问题：
（1）小明探究发现，黑球的滚动速度 $v_{t}$ 与滚动时间 $t$ 之间成一次函数关系，直接写出 $v_{t}$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______；
（2）黑球在滑道上滚动 $64 cm$ 用了多少秒？
（二）拓展提升：
（3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离 $s =$ 平均速度 $\bar{v} \times$ 时间 $t$ ， $\bar{v} = \frac{1}{2} (v_{0} + v_{t})$ ，其中 $v_{0}$ 是开始时的速度， $v_{t}$ 是 $t$ 秒时的速度．）

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11. 综合与实践

一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.

知识背景

如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为 ${\begin{matrix} x = v t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} \end{matrix} .$

方案设计

用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表：

t（s)	1	2	3
x（cm)	10	20	30
y（cm)	-5	-20	-45

解决问题：

(1)、根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=cm/s，重力加速度

g =________c m / s^{2};

(2)、写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm?

(3)、若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.

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三、学科融合--电路中数学应用

12. 物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R₁ ， R₂ ，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为 $y (x - 3) (x + 3)$ ，则用R₁ ， R₂表示R，结果正确的是（）．

A、 $R = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}$ B、 $R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ C、 $R = \frac{R_{1} + R_{2}}{2}$ D、R=R₁+R₂

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13. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流 $I$ （单位： $A$ ）随着电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为 $1 Ω$ ，则该电路能通过的（）

A、最大电流是 $36 A$ B、最大电流是 $27 A$ C、最小电流是 $36 A$ D、最小电流是 $27 A$

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14. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器， $R_{1}$ 的阻值随空气中甲醛质量浓度 $c$ 的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度 $c > 0.1 mg / m^{3}$ 时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（）

A、空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时， $R_{1}$ 的阻值逐渐增大 B、当 $R_{1} = 300 Ω$ 时，甲醛检测仪会报警 C、当 $c = 0.8 mg / m^{3}$ 时， $R_{1}$ 的阻值为 $25 Ω$ D、当房间内甲醛质量浓度低于 $0.1 mg / m^{3}$ 时， $R_{1}$ 的阻值高于 $200 Ω$

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15. 在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为( )

A、 $U_{甲} < U_{乙} < U_{丙}$ B、 $U_{甲} > U_{乙} > U_{丙}$ C、 $U_{甲} = U_{乙} = U_{丙}$ D、 $U_{乙} < U_{甲} < U_{丙}$

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16. 如图，电路图上有3个开关S₁ ， S₂ ， S₃和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为。

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17. 蓄电池的电压为定值。使用此电源时，用电器的电流I（A)是关于电阻R （Ω)的反比例函数，其图象如图所示，点P 是图象上一点。当用电器电阻R为9Ω时，电流是A。

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四、学科融合--化学实验中数学应用

18. 化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
① $2 K M n O_{4} = K_{2} M n O_{4} + M n O_{2} + O_{2} ↑$
② $2 H_{2} O_{2} = 2 H_{2} O + O_{2} ↑$
③ $Z n + H_{2} S O_{4} = Z n S O_{4} + H_{2} ↑$
④ $C a (O H)_{2} + C O_{2} = C a C O_{3} ↓ + H_{2} O$
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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19. 如图，某物质的化学分子式含有两个六边形，其中一个六边形的内角和是（ )

A、540° B、720° C、900° D、1080°

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20. 化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式(反应条件已省略)如下：
$① 2 K M n O_{4} = K_{2} M n O_{4} + M n O_{2} + O_{2} ↑$
$② 2 H_{2} O_{2} = 2 H_{2} O + O_{2} ↑$
$③ Z n + H_{2} S O_{4} = Z n S O_{4} + H_{2} ↑$
$④ C a {(O H)}_{2} + C O_{2} = C a C O_{3} ↓ + H_{2} O$
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是.

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21. 某中学化学实验课上，张老师带来了 $Mg$ （镁）、 $Al$ （铝）、 $Zn$ （锌）、 $Cu$ （铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知： $Mg$ 、 $Al$ 、 $Zn$ 可以置换出氢气，而 $Cu$ 不能置换出氢气）
抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小文先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则由小文分享；其他的情况，则由小华分享．这个规则对小文和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由．

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22. 实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm， $B E = \frac{1}{3} A B$ ，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）

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五、学科融合--文化课中数学应用

23. 下列词语所描述的事件中属于不可能事件的是( )

A、守株待兔 B、画饼充饥 C、打草惊蛇 D、旭日东升

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24. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（）

A、旭日东升 B、望梅止渴 C、守株待兔 D、指鹿为马

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25. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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26. 如图，AB和 CD是五线谱上的两条线段，点 E在 AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°， ∠2=35°，则∠BEC的度数为（ )

A、90° B、85° C、95° D、80°

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27. 综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定.
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的M₁N₁)位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为AB，以AB为直角边构造Rt△ABC，在AB上截取AP₁=AC，在P₁处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为P₁B，过P₁作P₁Q₁⊥AB交BC于点 Q₁ ，在AB上截取 $P_{1} P_{2} = P_{1} Q_{1},$ ，在P₂处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为P₂B，以此类推确定后续品丝位置. 在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm，P₁Q₁长为19mm.
【求解模型】

(1)、求 $\frac{A B}{P_{1} B};$

(2)、求第一根品丝的有效弦长 P₁B 及 tanB.

(3)、【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置P₃到弦桥B的长度约为342mm，若允许偏差是±2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由.

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28. 实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）²+4，那么该男生本次投掷可得分．（参考数据：

\sqrt{2}

≈1.41）

越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m）	10.0	9.60	9.20	8.80	8.40	8.00	7.60	7.20	7.00	6.80
分值（分）	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．

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29. 密码学是一门研究如何隐密地传递信息的学科，涉及加密和解密技术的科学，在密码学中，直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．清溪中学数学兴趣小组开展综合与实践活动，将26个英文字母按顺序分别对应整数1到26．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ．已知整数 $x_{1} + x_{2}$ ， $3 x_{2}$ ， $x_{3} + 2 x_{4}$ ， $3 x_{4}$ 除以26的余数分别为1，19，6，15．则这个密码单词为（）

A、 $shop$ B、 $math$ C、 $love$ D、 $hope$

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30. 现代密码学与数学有着密切关系.密码学爱好者小北制定了一种数字和字母相对应的密码规则，他将26个英文字母a，b，c....z依次对应正整数1~26，并摆放到如图所示的密码盘中，其中 1~12位于内圈，依次对应字母a~l；13~26位于外圈，依次对应字母m~z.内外圈的数字均绕中心点 O 顺时针转动，且每转动一个单位便对应其相邻数字.现定义一种密文a_[m] ，表示数字a顺时针转动m个单位后所对应的数字，而该数字所对应的字母即为明文.例如：接收的密文内容为“15_[3]3_[2]1_[15]”，15_[3]表示外圈数字15顺时针转动3个单位后对应的数字，即15_[3]=18，对应英文字母“r”；同理：3_[2]=5，对应英文字母“e”；1_[15]=4，对应英文字母“d”，所以密文破译后的明文为“red”.若小北向小仑传输的密文为"24_[3]2_[23]15_[200]10_[2026]"则小仑破译后的明文应为( )

A、“make” B、“mash” C、“milk” D、“math”

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滚动时间 $t (s)$	0	1	2	3	4
滚动速度 $v_{t} (cm / s)$	10	9.5	9	8.5	8