专题2.1 一次方程（组）及其应用—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-14 类型：二轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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2. 某班级共有 m 位学生，现将n 个枇杷作为午餐水果分发给学生.若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个.有下列四个方程：
①2m+10=3m-30；②2m-10=3m+30；
③ $\frac{n + 10}{2} = \frac{n - 30}{3};$ ④ $\frac{n - 10}{2} = \frac{n + 30}{3}$
其中符合题意的是( )

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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3. 如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端 $A$ 点与时钟最低点 $B$ 之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端 $A$ 点与时钟最低点 $B$ 之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（）

A、10厘米 B、13厘米 C、15厘米 D、 $(10 + 5 \sqrt{3})$ 厘米

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4. 定义一种新运算“ $△$ ”，其运算规则是 $a △ b = \frac{a + b}{2}$ ，已知 $(- 1) △ x = \frac{x}{4}$ ，则x的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、2 D、4

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5. 我们知道二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 a - 3 b = 3, \\ 3 a - 4 b = 5 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} a = 3, \\ b = 1 . \end{array}$ 现给出另一个二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 (2 x + 1) - 3 (3 y - 1) = 3, \\ 3 (2 x + 1) - 4 (3 y - 1) = 5, \end{array}$ 它的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1, \\ y = \frac{2}{3} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = - 1, \\ y = - \frac{2}{3} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1, \\ y = \frac{2}{3} \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 1, \\ y = - \frac{2}{3} \end{array}$

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6. 若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 ${\begin{matrix} x = 2, \\ y = - 1, \end{matrix}$ 则这个方程可以是( )

A、3x-4y=10 B、 $\frac{1}{2} x + 2 y = 3$ C、x+3y=2 D、2(x-y)=6y

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7. 我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　）

A、7组 B、21组 C、28组 D、42组

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8. 如图是一个 $400$ 米长的圆形跑道，从点 $O$ 出发，沿跑道顺时针跑出 $52$ 米的距离记作 $+ 52$ 米，逆时针跑出 $60$ 米的距离记作 $- 60$ 米 $.$ 定义 $1$ ：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距；定义 $2$ ：若点 $M$ 为跑道上 $A$ ， $B$ 两点之间较短圆弧上一点，且到 $A$ ， $B$ 两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的 $3$ 倍，则称 $M$ 为 $A$ ， $B$ 两点的“友谊点” $.$ 已知跑道上两点 $A$ ， $B$ 对应的有理数分别为 $- 80$ ， $40$ ，根据上述定义， $A$ ， $B$ 两点的“友谊点” $M$ 在跑道上对应的有理数为( )

A、 $- 40$ 或 $0$ B、 $- 40 + 400 k$ 或 $400 k (k$ 为任意整数 $)$ C、 $- 50$ 或 $10$ D、 $- 50 + 400 k$ 或 $10 + 400 k (k$ 为任意整数 $)$

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9. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{array}$ ，在图2所示的算筹图中有一个图形被水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 5 \\ y = a \end{matrix}$ ，则被墨水所覆盖的图形为（       ）


A、    B、    C、    D、

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10. “某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问：能做成多少个 A 型盒?”下列结论中，正确的个数是（）
①设A 型盒个数为x，根据题意可得 $4 x + 3 \times \frac{120 - x}{2} = 360 .$ ②设 B 型盒中正方形纸板的张数为m，根据题意可得 $3 \times \frac{m}{2} + 4 (120 - m) = 360 .$ ③A型盒有72个.④B 型盒中有正方形纸板48张.

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - y = 5 k \\ x + y = k \end{matrix}$ 的解也是方程 $3 x - 2 y = 8$ 的解，则k的值为．

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12. 若关于x的方程 $\frac{a x + 4}{8} - x =$ 1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 .

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13. 点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 a - b = 4, \\ - a + 2 b = - 8, \end{matrix}$ 则点 Q 关于y轴对称的点Q^'的坐标为.

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14. 甲、乙两人同解关于x、y的方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = 2, \\ c x - 7 y = 8 \end{matrix}$ 时，甲正确解得 ${\begin{matrix} x = 3, \\ y = - 2, \end{matrix}$ 乙因抄错c 而得 ${\begin{matrix} x = - 2, \\ y = 2, \end{matrix}$ 则a+c=.

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15. 你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A ， B ， C均为0～9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：

望城未来五年主要预期目标为：

①地区生产总值年均增长5.5%∼6%；

②全社会研发经费投入年均增长8%；

③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%，居民收入增长与经济增长同步.

x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足3A+3B+C=z.请推理出大门密码 .

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16. 衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题：如果a ， b ， c为实数，且满足a+b=-c. 那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有 a+b=-c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
a=2a-a ， b=2b-b ， c=2c-c； ②
第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)； ④
第五步：把④两边同时除以(a+b+c)，得 2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

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三、解答题（共10题，共72分）

17. 解方程：

(1)、 $3 (x - 1) - 2 x = - 6$ ；

(2)、 $\frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x} = 1$ 。

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18. 解方程(组)：

(1)、 $\frac{3 x - 1}{2} + 3 = \frac{1 - 5 x}{6}$ .

(2)、 $\frac{1.7 + 2 x}{0.3} - \frac{x}{0.2} = - 1$ .

(3)、 ${\begin{array}{l} 5 x + 4 y = 20, \\ 2 x + 3 y = 1 . \end{array}$

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19. （1）在① $x + y = 10$ ， ② $2 x + y = 16$ ， ③ $x = y + 4$ 中任选2个方程组成方程组，并解这个方程组；
（2）先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{3 - x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = - 4$ ．

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20. 计算： $(- 6) \times (\frac{2}{3} - ■) - 2^{3}$ ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．

(1)、如果被污染的数字是 $\frac{1}{2}$ ，请计算 $(- 6) \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) - 2^{3}$ ．

(2)、如果计算结果等于6，求被污染的数字．

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21. 解方程： $\frac{0.3 x + 0.5}{0.2} = \frac{2 x - 1}{3} .$

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22. 阅读理解下面材料，并解决问题：
【材料阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足 $3 x - y = 5$ ①，和 $2 x + 3 y = 7$ ②．求代数式 $7 x + 5 y$ 的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x，y的值后，再代入 $7 x + 5 y$ 求值
思路2：为降低运算量，由 $① + ② \times 2$ ，可直接得出 $7 x + 5 y = 19$ 这样的解题思路即为整体思想．

(1)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ______；

(2)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 1 + 3 m \\ x + 3 y = 1 - m \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则m的取值范围是______．

(3)、若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？

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23. 许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题.

信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：

小明出发时刻

智能手表数据

小明结束时刻

智能手表数据

小红出发时刻

智能手表数据

小红结束时刻

智能手表数据

时刻 $(7 : 00)$

步数（690步）

心率（92次/分钟）

时刻 $(7 : 20)$

步数（4690步）

心率（132次/分钟）

时刻 $(7 : 00)$

步数（340步）

心率（85次/分钟）

时刻（ $a$ ）

步数（5340步）

心率（141次/分钟）

信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，

问题：

(1)、起点与终点的距离为米；

(2)、跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红分钟.

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24. 【阅读材料】

养成健康饮水的习惯

素材1

《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.

素材2

如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失.

小贴士

接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.

【问题解决】

(1)、若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有ml水；

(2)、小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：

①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；

②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒?

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25. 综合与实践：

同学们在实践活动中用一批长为 $24 cm$ ，宽为 $15 cm$ 的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务．

活动一	如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形 $A B C D$ 是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．
任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积．
活动二	为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙．
任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大．

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26. 根据素材，完成任务：

创意饰品的制作方案
素材一	某工坊计划制作A ， B两款创意饰品，已知A ， B两款饰品都需要用到大、小两种珠子，且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子．制作一个A饰品需要的大小珠子数量比为 $1 : 6$ ，制作一个B饰品需要的大小珠子数量比为 $1 : 8$ ．
素材二	已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购得小珠子的数量少80颗．
素材三	该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A ， B饰品（材料无剩余，且经费刚好用完）．
问题解决
任务一	求制作一个A ， B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；
任务二	求大小珠子的单价；
任务三	若A ， B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案．

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