专题04 二次根式—中考数学重难点突破训练

试卷更新日期：2026-04-14 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若 $a = \sqrt{10}$ ，则计算 $\sqrt{200 a^{2}}$ 的结果正确的是（）

A、 $20 \sqrt{5}$ B、 $\pm 20 \sqrt{5}$ C、 $\pm 100 \sqrt{2}$ D、 $100 \sqrt{2}$

查看试题解析
2. 据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间 $t (s)$ 与下落高度 $h (m)$ 近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} (g 取 10 m / s^{2})$ ，一物体从 $100 m$ 高空自由落下，则关于物体下落的时间 $t$ ，说法正确的是（）

A、 $3 s < t < 4 s$ B、 $4 s < t < 5 s$ C、 $5 s < t < 6 s$ D、 $6 s < t < 7 s$

查看试题解析
3. 使 $\sqrt{1 + x}$ 有意义的x的取值范围在数轴上表示为( )

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

查看试题解析
5. 已知 $a + b = - 5$ ， $a b = 1$ ，则 $b \sqrt{\frac{b}{a}} + a \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值为（）．

A、 $23$ B、5 C、 $- 23$ D、 $- 5$

查看试题解析
6. 下列各数中，无理数是（）

A、0 B、 ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}$ C、 ${(\sqrt{3})}^{2026}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{2} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{2}]$

查看试题解析
7. 与式子 $\sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt{10} \div \sqrt{5}$ 的值最接近的整数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
8. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则. $\sqrt{{(a - b)}^{2}} - (b - a - 2)$ 的化简结果是( )

A、2 B、2a-2 C、2-2b D、-2

查看试题解析
9. 已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn，设 $p = \sqrt{q + n} + \sqrt{q - m}$ ，则p( )。

A、总是奇数 B、总是偶数 C、有时奇数，有时偶数 D、有时有理数，有时无理数

查看试题解析
10. 某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如， $(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ ， $(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) = 10$ ．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲： $\frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ ；乙：设有理数a ， b满足： $\frac{a}{\sqrt{2} + 1} + \frac{b}{\sqrt{2} - 1} = - 6 \sqrt{2} + 4$ ，则 $a + b = 6$ ；
丙： $\frac{1}{\sqrt{2022} - \sqrt{2021}} > \frac{1}{\sqrt{2020} - \sqrt{2019}}$ ；丁：已知 $\sqrt{43 - x} - \sqrt{11 - x} = 4$ ，则 $\sqrt{43 - x} + \sqrt{11 - x} = 6$ ；
戊： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + ⋯ + \frac{1}{99 \sqrt{97} + 97 \sqrt{99}} = \frac{33 - \sqrt{11}}{66}$ .以上结论正确的有（　　　）

A、甲丙丁 B、甲丙戊 C、甲乙戊 D、乙丙丁

查看试题解析

二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知代数式 $A = (1 + \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x}$ ，其中 $x$ 为 $\sqrt{7}$ 的小数部分，则 $A$ 的值为．

查看试题解析
12. 若最简二次根式 $- \sqrt{2 a - 3}$ 与 $\sqrt[b]{a + 1}$ 可以合并，则 $- a^{b} =$ ．

查看试题解析
13. 斐波那契数列中的第n个数可以用 $\frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ 表示（其中n≥1），随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列.斐波那契数列中的第2个数可化简为.

查看试题解析
14. 已知 $a 、 b$ 表示一个直角三角形的两直角边的长，若 $a + b = 6 ， a b = 4$ ，则这个直角三角形的斜边长为．

查看试题解析
15. 如图，在 $△$ ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．

查看试题解析
16. 小明用图①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为.

查看试题解析

三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）

17. 计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{4})}^{- 1} - \sqrt{9} + 2 c o s 4 5^{\circ} + ∣ \sqrt{2} - 2 ∣ .$

(2)、 $\sqrt{25} + {(- 1)}^{2008} - 2 s i n 3 0^{\circ} .$

查看试题解析
18. 计算：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{24} - \sqrt{27}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} + (\sqrt{6} + 1) (\sqrt{6} - 1)$ ．

查看试题解析
19. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{12} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{- 1} .$

(2)、 $2 \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{9} - \sqrt{12} + \sqrt[3]{\frac{7}{8} - 1} .$

查看试题解析
20. 求代数式 $a + \sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值，其中a=-2020.如图所示为小亮和小芳的解答过程.

(1)、的解法是错误的.

(2)、错误的原因在于未能正确地理解并运用二次根式的性质.

(3)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中a=-2019.

查看试题解析
21. 阅读与应用：同学们，你们已经知道( $a - b$ )² $\geq 0$ ，即 $a$ ² $- 2 a b +$ b² $\geq 0 ．$ 所以 $a$ ² $+$ b² $\geq 2 a b ($ 当且仅当 $a = b$ 时取等号 $)$ ．
阅读 $1$ ：若 $a$ 、 $b$ 为实数，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $∵ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ ， $∴ a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， $∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b} ($ 当且仅当 $a = b$ 时取等号 $)$ ．
阅读 $2$ ：若函数 $y = x + \frac{m}{x} (m > 0 ， x > 0 ， m$ 为常数 $) ．$ 由阅读 $1$ 结论可知： $x + \frac{m}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{m}{x}}$ ，即 $x + \frac{m}{x} \geq 2 \sqrt{m} ∴$ 当 $x = \frac{m}{x}$ 即 $x^{2} = m$ ， $∴ x = \sqrt{m} (m > 0)$ 时，函数 $y = x + \frac{m}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{m}$ ．
阅读理解上述内容，解答下列问题：

(1)、问题 $1$ ：已知一个矩形的面积为 $4$ ，其中一边长为 $x$ ，则另一边长为 $\frac{4}{x}$ ，周长为 $2 (x + \frac{4}{x})$ ，当 $x =$ 时，矩形周长的最小值为．

(2)、问题 $2$ ：若函数 $y = a + \frac{9}{a - 1} (a > 1)$ ，则 $a =$ 时，函数 $y = a + \frac{9}{a - 1} (a > 1)$ 的最小值为．

(3)、问题3：建造一个容积为 $8$ 立方米，深 $2$ 米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米 $120$ 元和 $80$ 元，设池长为 $x$ 米，水池总造价为 $y$ 元，求当 $x$ 为多少时，水池总造价 $y$ 最低？最低是多少？

查看试题解析
22. 在解决问题“已知 $a = - \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ ．求 $3 a^{2} - 6 a + 1$ 的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解： $∵ a = - \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = - \frac{1 - \sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})} = 1 - \sqrt{2}, ∴ a - 1 = - \sqrt{2}$ ．
$∴ {(a - 1)}^{2} = 2, a^{2} - 2 a + 1 = 2, ∴ a^{2} - 2 a = 1, ∴ 3 a^{2} - 6 a + 1 = 3 (a^{2} - 2 a) + 1 = 4$ ．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ；

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ，求 $4 a^{2} - 8 a - 2$ 的值．

查看试题解析
23. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ${(\sqrt{1 - 3 x})}^{2} - | 1 - x |$
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0$ ，解得： $x \leq \frac{1}{3}$ ，
∴ $1 - x > 0$ ，
∴原式 $= (1 - 3 x) - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$ ，

(1)、【启发应用】按照上面的解法，试化简 $\sqrt{{(3 - x)}^{2}} - {(\sqrt{2 - x})}^{2}$ ；

(2)、【类比迁移】①实数a ， b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{{(a + b)}^{2}} - | b - a |$ ；
②已知a ， b ， c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - a - c)}^{2}} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$ ．

查看试题解析
24. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由 $5 + 5 = 2 \sqrt{5 \times 5} = 10$ ； $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 2 \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$ ； $0.4 + 0.4 = 2 \sqrt{0.4 \times 0.4} = 0.8$ ； $\frac{1}{5} + 5 > 2 \sqrt{\frac{1}{5} \times 5} = 2$ ； $0.2 + 3.2 > 2 \sqrt{0.2 \times 3.2} = 1.6$ ； $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} > 2 \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
猜想：如果 $a > 0$ ， $b > 0$ ，那么存在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当且仅当 $a = b$ 时等号成立）．
猜想证明：∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$
∴①当且仅当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ ，即 $a = b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b = 0$ ， ∴ $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ；
②当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$ ，即 $a \neq b$ 时， $a - 2 \sqrt{a b} + b > 0$ ， ∴ $a + b > 2 \sqrt{a b}$ ．
综合上述可得：若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 成立（当日仅当 $a = b$ 时等号成立）．

(1)、猜想运用：对于函数 $y = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

(2)、变式探究：对于函数 $y = \frac{1}{x - 3} + x (x > 3)$ ，当 $x$ 取何值时，函数 $y$ 的值最小？最小值是多少？

(3)、拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$ （米²）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

查看试题解析