沪科版数学七年级下册8.4因式分解计算题专项练习-在线组卷题库

1. 因式分解.

(1)、 $12 a b c - 4 b c^{2};$

(2)、 $- x^{2} + 10 x y - 25 y^{2} .$

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2. 把下列各式分解因式：

(1)、 $4 a^{2} b^{2} - a b^{2}$ ；

(2)、 $m (a - b) - n (a - b)$ ．

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3. 因式分解： $3 m^{2} - 12 m n + 12 n^{2}$ .

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4. 分解因式

(1)、 $15 a^{3} + 10 a^{2};$

(2)、 $12 a b c - 3 b c^{2};$

(3)、6p(p+q)-4q(p+q)；

(4)、m(a-3)+2(3-a).

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5. 阅读下列材料：分解因式： $3 x^{2} + 3 x y - 5 x - 5 y .$
解1： $3 x^{2} + 3 x y - 5 x - 5 y = (3 x^{2} + 3 x y) - (5 x + 5 y) = 3 x (x + y) - 5 (x + y) = (x + y) (3 x - 5) .$
解2： $3 x^{2} + 3 x y - 5 x - 5 y = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x y - 5 y) = x (3 x - 5) + y (3 x - 5) = (3 x - 5) (x + y)$
【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法：

(1)、【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
分解因式： $x^{3} + x^{2} + x + 1;$

(2)、分解因式： $y^{2} + 2 y z + z^{2} - 9 x^{2} .$

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6. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2 a + 3 a b - 4 - 6 b$ 分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式 $= (2 a - 4) + (3 a b - 6 b)$
$= 2 (a - 2) + 3 b (a - 2)$
$= (a - 2) (2 + 3 b)$
【类比】（1）请用分组分解法将 $x^{2} - a^{2} + x + a$ 分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将 $a x + a^{2} - 2 a b - b x + b^{2}$ 分解因式．

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7. 七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2 a - 3 a b - 4 + 6 b$ 因式分解．
经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $= (2 a - 3 a b) - (4 - 6 b) = a (2 - 3 b) - 2 (2 - 3 b) = (2 - 3 b) (a - 2)$ ；
解法二：原式 $= (2 a - 4) - (3 a b - 6 b) = 2 (a - 2) - 3 b (a - 2) = (a - 2) (2 - 3 b)$ ．
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

(1)、请用分组分解法将 $x^{2} - a^{2} + x + a$ 因式分解；

(2)、请用分组分解法将 $a x + a^{2} - 2 a b - b x + b^{2}$ 因式分解；

(3)、若 $a^{2} + b^{2} = 9$ ， $a - b = 2$ ，请用分组分解法先将 $a^{4} - 2 a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + b^{4}$ 因式分解，再求值．

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8. 把下列各式因式分解：

(1)、 $x^{2} y^{2} - 2 x y z + z^{2}$

(2)、 ${(a + 4)}^{2} + 8 a (a + 4) + 16 a^{2}$

(3)、 $a^{2} {(x - y)}^{2} + 16 a (x - y) + 64$

(4)、 ${(x - 2)}^{2} + 2 (x - 2) (x - 4) + {(x - 4)}^{2}$

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9. 分解因式

(1)、 $18 y^{3} - 27 y^{4} - 3 y^{2};$

(2)、 $m^{4} - 18 m^{2} + 81;$

(3)、 $x^{4} - 16 y^{4};$

(4)、 ${(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - {(a^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2} .$

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10. 分解因式

(1)、 $4 {(3 m + 2 n)}^{2} - 9 {(m - n)}^{2}$

(2)、 $x^{4} + 5 x^{2} - 36$

(3)、 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2} + 3 x - 6 y$

(4)、 $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) - 12$

(5)、 $4 x^{4} + 12 x^{3} + 13 x^{2} + 6 x + 1$

(6)、 $y (y + 1) (x^{2} + 1) + x (2 y^{2} + 2 y + 1)$

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11. 分解因式：

(1)、 $a b - 2 b$

(2)、 $5 x^{2} y - 10 x y^{2}$

(3)、 $16 a^{4} - b^{2} (8 a^{2} - b^{2})$

(4)、 $9 a^{2} (x - y) + 4 b^{2} (y - x)$

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12. 把下列各式分解因式：

(1)、 $(x^{2} + 5 x + 2) (x^{2} + 5 x + 3) - 12 .$

(2)、 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$ .

(3)、 $(x + y) (x + y + 2 x y) + (x y + 1) (x y - 1)$ .

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13. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解的过程：
解：设 $x^{2} - 2 x = y$
原式 $= y (y + 2) + 1$ （第一步）
$= y^{2} + 2 y + 1$ （第二步）
$= {(y + 1)}^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ （第四步）．
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______．

(3)、请你模仿上述方法，对多项式 $(x^{2} - 2) (x^{2} - 6) + 4$ 进行因式分解．

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14. “整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了.
例如：分解因式 ${(a - 2 b)}^{2} + 2 (a - 2 b) + 1 .$
解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x，则原式 $= x^{2} + 2 x + 1 =_,$ 将x还原得，原式 $= {(a - 2 b + 1)}^{2} .$
请根据上述材料回答下列问题：

(1)、请补全横线上的步骤：；

(2)、因式分解： $(x^{2} + 2 x + 3) (x^{2} + 2 x - 1) + 4$

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15. 阅读与思考

整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

$(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + p q ，$ 得 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ ．

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．

例如：将式子 $x^{2} + 3 x + 2$ 分解因式．

解： $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + (1 + 2) x + 1 \times 2 = (x + 1) (x + 2)$ .

请仿照上面的方法，解答下列问题：

(1)、分解因式：

x^{2} + 2 x - 8

．

(2)、分解因式：

x^{3} - 8 x^{2} + 12 x

．

(3)、若

x^{2} + p x - 6

可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．

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16. 解方程： $x^{2} - 3 x - 4 = 0$

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17. 由多项式乘法得 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左进行运算，即可得到用 “十字相乘法” 进行因式分解的公式： $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．如：分解因式： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 2) (x + 3)$ ．

(1)、分解因式： $x^{2} + 6 x + 8 = (x +$ ) $(x +$ )．

(2)、请用“十字相乘法”解方程： $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ．

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18. 睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 $x^{2} + 7 x + 10$ 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 $10 = 2 \times 5$ ，一次项系数 $7 = 2 + 5$ ，则 $x + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ，如图所示，仿照上述解决下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} + 6 x + 8$ ；
睿睿做了如下分析：
一次项为： $○ + □ = 6$ ，则常数项为： $○ \times □ = 8$ ；
则 $○ =$ ________； $□ =$ ________；
∴ $x^{2} + 6 x + 8 =$ （ $x +$ ____）（ $x +$ ____）

(2)、因式分解： $x^{2} - 5 x + 6$ ；

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沪科版数学七年级下册8.4因式分解计算题专项练习

一、提公因式法

二、分组分解法

三、公式法

四、分步分解法

五、换元法

六、十字相乘法