沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式解答题专项突破（一）-在线组卷题库

1. 如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形.

(1)、图中的阴影正方形的边长可表示为（用含m，n的代数式表示)：

(2)、根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出（m+n)² ，（m-n)² ， mm之间的一个等量关系.

(3)、若m+n=7，mn=3，求阴影正方形的面积.

2. 如图1，边长为

a

的大正方形中有一个边长为

b

的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．

(1)、上述操作能验证的公式是（填序号）．

① $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

② $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

③ $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

(2)、请应用上面的公式完成下列各题：

①若 $a^{2} - b^{2} = 22$ ， $a + b = 11$ ，则 $a - b =$ ．

②计算： $2025 \times 2027 - 2026^{2}$

查看试题解析

3. 如图1是长为m，宽为n的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形

A B C D

和正方形

E F G H

.

【观察发现】

（1）①请用两种不同的方法表示正方形 $E F G H$ 的面积：

方法1： $S_{正方形 E F G H} = {(m + n)}^{2}$ ；

方法2： $S_{正方形 E F G H} =$ ；

②根据①中的结论，直接写出 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $m n$ 之间的等量关系式为：；

【结论应用】

（2）已知 $2 a + 3 b = 5$ ， $a b = - 1$ ，求 $2 a - 3 b$ 的值；

【变式拓展】

（3）将正方形 $M N P Q$ ，正方形 $O R S T$ 按如图的方式摆放（点P与点O重合，点T在 $P Q$ 上），若两个正方形的面积之和为850，边长之差为10，求图中阴影部分的面积.

查看试题解析

4. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．

（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．

利用上述公式解决问题：

【直接应用】

（2）若 $x y = 2$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ______．

【知识迁移】

（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9， $△ C D G$ 的面积为3，求CE的长度．

查看试题解析

5. 边长为

a

的正方形剪掉一个边长为

b

的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）

A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

C． $a^{2} + a b = a (a + b)$ D． $a^{2} - a b = a (a - b)$

(2)、若

x^{2} - y^{2} = 12

，

x + y = 4

，求

x - y

的值；

(3)、计算：

(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{2024^{2}}) (1 - \frac{1}{2025^{2}})

．

查看试题解析

6. 如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为

(4 a + b)

米，宽为

(a + b)

米．

(1)、农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为

(a - b)

米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）；

(2)、当

a = 5

，

b = 2

时，求S的值．

查看试题解析

7.

完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．

例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

解： $∵ a + b = 3$ ， $a b = 1$ ， $∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ， $2 a b = 2$ ．

$∴ a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ， $∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．

请仿照上例解决下列问题：

（1）①若 $x + y = - 5$ ， $x y = - 3$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ______；

②若 $x^{2} + y^{2} = 116$ ， $x + y = 10$ ，则 $x y =$ ______．

（2）①若 $x$ 满足 $(8 - x) (x - 4) = 3$ ，求 ${(8 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2}$ 的值．

②若 $x$ 满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(2021 - x)}^{2} = 2022$ ，求 $(2023 - x) (2021 - x)$ 的值；

（3）如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$ ， $A E = 2$ ， $F C = 4$ ，长方形 $E B F G$ 的面积是10，四边形 $H I B E$ 和 $B J K F$ 都是正方形， $I L J B$ 是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

查看试题解析

8. 完全平方公式

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

经过适当的变形，可以解决很多数学问题．

例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

解： $∵ a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，

$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ， $2 a b = 2$ ，

$∴ a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$

$∴ a^{2} + b^{2} = 7$

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)、若

x + y = 8

，

x^{2} + y^{2} = 40

，则

x y

的值为_____________；

(2)、若

2 a + b = 6

，

a b = 4

，求

{(2 a - b)}^{2}

的值；

查看试题解析

9. 数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．

方法1：；方法2：

(2)、观察图2，请你写出代数式

{(a + b)}^{2} ， a^{2} + b^{2} ， a b

之间的等量关系：

(3)、根据（2）中的等量关系，解决下列问题：

①已知 $a + b = 5 ， a^{2} + b^{2} = 15$ ，求 $a b$ 的值；

②已知 ${(2025 - a)}^{2} + {(a - 2026)}^{2} = 7$ ，求 $(2025 - a) (a - 2026)$ 的值．

查看试题解析

10. 观察下列等式：

①3²-i²=9-1=8=8×1； ②5²-3²=25-9=16=8×2；

③7²-5²=49-25=24=8×3； ④9²-7²=81-49=32=8×4.

请解答下列问题：

(1)、按照上述规律，第⑤个等式为；第⑩个等式为；

(2)、猜想

3^{2} - 1^{2} + 5^{2} - 3^{2} + 7^{2} - 5^{2} + \dots + {(2 n + 1)}^{2} - {(2 n - 1)}^{2}

的结果，并证明你的猜想；

(3)、若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1，它们的平方差结果为120.请求出所有满足条件的 (n，k).

查看试题解析

11. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼

(G ． Fubini)

原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．

(1)、计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是

{(a + b)}^{2}

；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________；

(2)、如图2，正方形

A B C D

是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示）

(3)、请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足

a + b = 3

，

a b = \frac{5}{4}

，求

a^{2} - b^{2}

的值．

查看试题解析

沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式与平方差公式解答题专项突破（一）

一、阴影面积类