河北省张家口市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-12-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A ＝ {1 ， 2 ， 5}$ ， $∁_{U} B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $A \cap B$ ＝（）

A、{5} B、{2} C、{1，2，4，5} D、{3，4，5}

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2. 设命题p： $\forall x > 0 ， 2 x > l o g_{2}^{x}$ ， $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0 ， 2 x < l o g_{2}^{x}$ B、 $\exists$ x₀＞0， $2^{x_{0}} \leq {log}_{2} x_{0}$ C、 $\exists$ x₀＞0， $2^{x_{0}} < {log}_{2} x_{0}$ D、 $\exists$ x₀＞0， $2^{x_{0}} \geq {log}_{2} x_{0}$

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3. 命题“有理数是无限不循环小数，整数是有理数，所以整数是无限不循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）

A、使用了归纳推理 B、使用了类比推理 C、使用了“三段论”，但大前提错误 D、使用了“三段论”，但小前提错误

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4. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为 $\frac{8}{9}$ ，则A题答对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（）

A、36种 B、60种 C、72种 D、108种

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - x ， x \leq 0 ， \\ {log}_{2} x ， x > 0 ， \end{matrix}$ 则“f（x）≤0”是“x≥0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 给出下列两种说法：①已知p³＋q³＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x²＋ax＋b＝0的两根绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x₁的绝对值大于或等于1，即假设|x₁|≥1．以下结论正确的是（）

A、①和②的假设都错误 B、①和②的假设都正确 C、①的假设正确，②的假设错误 D、①的假设错误，②的假设正确

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8. 在 ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则此展开式中各项系数绝对值之和为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{9}$ B、 ${(\frac{3}{2})}^{9}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{8}$ D、 ${(\frac{3}{2})}^{8}$

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9. 已知点P是曲线 $y = \frac{3 - e^{x}}{e^{x} + 1}$ 上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. $\int_{0}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} x) d x =$ （）

A、 $\frac{π + 1}{4}$ B、 $\frac{π + 1}{2}$ C、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{4}$ D、 $π + \frac{1}{4}$

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11. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝2²×3² ，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋3²）＋（2＋2×3＋2×3²）＋（2²＋2²×3＋2²×3²）＝（1＋2＋2²）（1＋3＋3²）＝91，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为（）

A、217 B、273 C、455 D、651

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12. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} | {log}_{\sqrt{2}} x | ， 0 < x \leq 2 ， \\ x^{2} - 8 x + 14 ， x > 2 ， \end{matrix}$ 若存在互不相同的四个实数0＜a＜b＜c＜d满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则ab＋c＋2d的取值范围是（）

A、（ $13 - \sqrt{2}$ ， $13 + \sqrt{2}$ ） B、（ $13 - \sqrt{2}$ ，15） C、[ $13 + \sqrt{2}$ ，15] D、（ $13 + \sqrt{2}$ ，15）

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二、填空题

13. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤－2）＝．

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14. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产耗能y（吨）的几组相对应数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归直线方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，那么表中t＝．

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15. 按照上级要求，市人民医院决定组建一个医疗小队前往灾区服务．考虑到本院人员具体情况，经院领导研究决定：从4名内科、5名外科、3名儿科医生中，选出4人组建医疗小队，并且要求这三类专业技术人员都至少有一人，则医疗小队组建方式共有种．

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16. 函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ， $g (x) = \frac{a ln x}{x}$ ，（a＞0）．若对任意实数x₁ ，都存在正数x₂ ，使得g（x₂）＝f（x₁）成立，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是z的共轭复数）．
（1）设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求|z₁|；
（2）设复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2017}}{z}$ ，且复数z₂所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．

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18. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关，现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）

选择“有水的地方”
不选择“有水的地方”
合计
男
90
110
200
女
210
90
300
合计
300
200
500
（Ⅰ）据此样本，有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关；
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况，现从该市的全体出游旅客（人数众多）中随机抽取3人，设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X，求随机变量X的数学期望和方差．
附临界值表及参考公式：
P（K²≥k₀）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) \times (c + d) \times (a + c) \times (b + d)}$ ，n＝a＋b＋c＋d．

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20. 函数f（x）＝xlnx－a（x－1）²－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常数a∈R．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有两个零点x₁ ， x₂（x₁＜x₂），求证：在区间（1，＋∞）上存在f（x）的极值点x₀ ，使得x₀lnx₀＋lnx₀－2x₀＞0．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ ， \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t ， \\ y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若点P（1，2），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

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22. 已知函数f（x）＝|x＋a|－|x－1|．
（Ⅰ）当a＝－2时，求不等式 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥2有解，求实数a的取值范围．

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23. 已知曲线C₁ ， C₂的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ， $\sqrt{2} ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，射线θ＝φ， $θ = φ + \frac{π}{4}$ ， $θ = φ - \frac{π}{4}$ 与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（Ⅰ）求证： $| O B | + | O C | = \sqrt{2} | O A |$ ；
（Ⅱ）当 $φ = \frac{π}{12}$ 时，求点B到曲线C₂上的点的距离的最小值．

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24. 设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对 $\forall$ x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a²＋b²＝2M．证明：a＋b≥2ab．

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	选择“有水的地方”	不选择“有水的地方”	合计
男	90	110	200
女	210	90	300
合计	300	200	500

P（K²≥k₀）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5