广东省台山市2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题

试卷更新日期：2026-02-18 类型：期末考试

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一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、2，3，6 B、4，5，9 C、4，5，8 D、4，4，8

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 边上的高是（）

A、 $B D$ B、 $C E$ C、 $A E$ D、 $C F$

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3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列四个条件中，能确定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ 都是锐角 B、 $△ A B C$ 的三个内角的度数之比是 $1 : 2 : 3$ C、在 $△ A B C$ 中， $∠ A - 2 ∠ B = ∠ C$ D、 $△ A B C$ 的三个外角的度数之比是 $2 : 5 : 5$

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5. 下列各式中，不是分式的是（）

A、 $\frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a + 5}$ C、 $\frac{c}{a^{2} b}$ D、 $\frac{a}{3}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 延长线上的一点， $∠ A C D = 130 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $80 °$ D、 $25 °$

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7. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

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8. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 a)}^{3} = - 8 a^{3}$ B、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 2 a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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9. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是 $7.9 \times 10^{3} m / s$ ，则卫星绕地球运行 $3 \times 10^{4} s$ 走过的路程约是（）（结果用科学记数法表示）

A、 $0.237 \times 10^{9} m$ B、 $2.37 \times 10^{8} m$ C、 $2.37 \times 10^{7} m$ D、 $23.7 \times 10^{7} m$

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10. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $A B$ ， $C D$ 交于点 $F$ ，若 $∠ A F D = 41 °$ ，则 $∠ A B E$ 等于（）

A、 $139 °$ B、 $131 °$ C、 $98 °$ D、 $136 °$

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二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．

11. 因式分解： $x^{2} y - x y^{2} =$ ．

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12. 在机械化作业中，拖拉机 $a$ 天耕地 $b$ 公顷，则拖拉机的工作效率是公顷/天．

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13. 计算 $y^{2} \cdot y^{3} =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $A D = B D = B C$ ，则 $∠ C =$ $°$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $C D$ 长为．

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三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分．

16. 在解分式方程 $\frac{1}{5 - x} - 1 = \frac{x - 2}{x - 5}$ 时，小江的解法如下：
第一步： $\frac{1}{5 - x} \cdot (x - 5) - 1 = \frac{x - 2}{x - 5} \cdot (x - 5)$
第二步： $- 1 - 1 = x - 2$
第三步： $x = 0$
第四步：检验：当 $x = 0$ 时， $x - 5 \neq 0$
第五步： $∴$ 原分式方程的解为 $x = 0$
小江的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小江的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 3)$ ， $B (3, - 2)$ ， $C (4, 3)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标．

(2)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．

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四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分．

19. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售 $A$ ， $B$ 两种吉祥物挂件，已知每个 $A$ 种挂件的价格是每个 $B$ 种挂件价格的 $\frac{3}{5}$ ，用180元购买 $A$ 种挂件的数量比用100元购买 $B$ 种挂件的数量多8个，求每个 $A$ 种挂件的价格．

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20. 观察下列等式：
$(a - 1) (a^{2} + a + 1) = a^{3} - 1$
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$
$(a - 3) (a^{2} + 3 a + 9) = a^{3} - 27$
……

(1)、①根据以上等式的规律，填空： $(a - 5) (_____) = a^{3} - 125$ ；
②根据以上等式的规律，填空： $(a - b) (_____) = a^{3} - b^{3}$ ，并证明等式成立．

(2)、一个水平放置的长方体容器，其容积为 $t^{3} - 216 (t > 10)$ ，底面积为 ${(t + 3)}^{2} - m$ ，装满水的高度为 $t - 6$ ，求 $m$ 的值．

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21. 综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河边 $l$ 饮马后再回到点 $B$ 宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线 $l$ 的两侧分别有 $A 、 B$ 两点，请你在直线 $l$ 上确定一个点 $C$ ，使 $A C + B C$ 最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线 $l$ 上求出 $C$ 点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘 $O M$ 与小河河岸 $O N$ 在点 $O$ 处形成 $30 °$ 的夹角，牧马人从 $A$ 地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到 $A$ 地．已知 $O A = 6 km$ ，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．

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五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题13分，共26分．

22. 我们定义：如果两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数，且这个常数为正数，则称 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”，这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”．
如分式 $A = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $B = \frac{- 2}{x + 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x + 1} - (\frac{- 2}{x + 1}) = \frac{2 x + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$ ，则 $A$ 是 $B$ 的“雅中式”， $A$ 关于 $B$ 的“雅中值”为2．

(1)、已知分式 $C = \frac{3 x - 8}{x - 3}$ ， $D = \frac{1}{x - 3}$ ，判断 $C$ 是否为 $D$ 的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出 $C$ 关于 $D$ 的“雅中值”．

(2)、已知分式 $P = \frac{E}{16 - x^{2}}$ ， $Q = \frac{x}{4 - x}$ ， $P$ 是 $Q$ 的“雅中式”，且 $P$ 关于 $Q$ 的“雅中值”是5，求 $E$ 所代表的代数式．

(3)、已知分式 $M = \frac{(x - b) (x - 3)}{x}$ ， $N = \frac{(x + 2) (x - a)}{x}$ ， $M$ 是 $N$ 的“雅中式”，且 $M$ 关于 $N$ 的“雅中值”是4，求 $a$ ， $b$ 的值．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $B C = 20$ ，点 $B$ 在直线 $l$ 上，点 $D$ 是直线 $l$ 上点 $B$ 左边的一点，且 $B D = 6$ ．动点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线 $A B - B C$ 向终点 $C$ 匀速运动；同时动点 $N$ 从点 $C$ 出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线 $C B - B A$ 向终点 $A$ 匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点 $M$ 、点 $N$ 作 $M E ⊥ l$ 于点 $E$ ， $N F ⊥ l$ 于点 $F$ ．设点 $M$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $N$ 在边 $B C$ 上时，求证： $∠ M B E = ∠ B N F$ ．

(2)、当 $∠ A B D = 60 °$ 时，连接 $M D$ 、 $N D$ ，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求 $t$ 的值．

(3)、当 $△ M B E$ 与 $△ N B F$ 全等时，求 $t$ 的值．

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