内蒙古太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-12-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 3 + 4 i, i$ 为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\frac{i}{\bar{z}} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{4}{25} + \frac{3}{25} i$ D、 $- \frac{4}{25} - \frac{3}{25} i$

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2. 对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）

A、各正三角形内的点 B、各正三角形的中心 C、各正三角形某高线上的点 D、各正三角形各边的中点

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3. 用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）

A、a、b至少有一个不为0 B、a、b至少有一个为0 C、a、b全不为0 D、a、b中只有一个为0

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4. 设函数 $f (x)$ 可导，则 $lim_{k \to 0} \frac{f (1 - k) - f (1)}{3 k}$ 等于（）

A、 $f^{'} (1)$ B、 $\frac{1}{3} f^{'} (1)$ C、 $- 3 f^{'} (1)$ D、 $- \frac{1}{3} f^{'} (1)$

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5. 如图所示，阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{6}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f' (1) + ln x$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、 $- e$ B、1 C、-1 D、 $e$

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7. 函数 $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ 的递增区间为（）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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8. 已知（1+x）ⁿ的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）

A、2⁹ B、2¹⁰ C、2¹¹ D、2¹²

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9. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A、某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 B、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° C、由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 D、在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＝ $\frac{1}{2}$ (a_n_－₁＋ $\frac{1}{a_{n - 1}}$ )(n≥2)，由此归纳出{a_n}的通项公

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10. 函数 $y = sin x + ln | x |$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山。现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）

A、14种 B、 $16$ 种 C、 $20$ 种 D、24种

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12. 已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 3$ ，且 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 在 $R$ 上恒有 $f^{'} (x) < 2 (x \in R)$ ，则不等式 $f (x) < 2 x + 1$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{\frac{π}{3}} (2 x + sin x) d x$ ＝。

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14. $(x - \frac{1}{x}) {(2 x - 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是.（用数字填写答案）

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15. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 3 ，$ 若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $R$ 上有3个零点，则 $m$ 的取值范围为．

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16. 学校艺术节对同一类的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是 $C$ 或 $D$ 作品获得一等奖”；
乙说：“ $B$ 作品获得一等奖”；
丙说：“ $A$ ， $D$ 两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是 $C$ 作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．

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三、解答题

17. 证明不等式： $\sqrt{a + 3} - \sqrt{a + 2}$ ＜ $\sqrt{a + 1} - \sqrt{a}$ ，其中a≥0．

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18. 设a为实数，函数f（x）=x³﹣x²﹣x+a ，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[﹣1，3]上的最值．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} + a$ ， $x \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = b x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in R$ 时，求证： $f (x) \geq - x^{2} + x$ ；

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + 5 a_{n + 1} = 36 n + 18 ， n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 4$ .

(1)、写出 ${a_{n}}$ 的前3项，并猜想其通项公式；

(2)、用数学归纳法证明你的猜想.

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21. 已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中 $x^{6}$ 的项；
（Ⅲ）求展开式系数最大项.

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22. 已知函数 $f (x) = x - a ln x ， g (x) = - \frac{1 + a}{x} ， (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(3)、若在区间 $[1 ， e]$ 上存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < g (x_{0})$ 成立，求 $a$ 的取值范围，（ $e = 2.718$ ）

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