内蒙古赤峰市2016-2017学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2017-12-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 的实部为 $- 1$ ，虚部为2，则 $\frac{5 i}{z}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in (0, + \infty), ln x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty), ln x_{0} \neq x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0, + \infty), ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\forall x \notin (0, + \infty), ln x = x - 1$ D、 $\forall x \in (0, + \infty), ln x \neq x - 1$

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3. 当 $n = 1$ ，2，3，4，5，6时，比较 $2^{n}$ 和 $n^{2}$ 的大小并猜想（）

A、 $n \geq 1$ 时， $2^{n} > n^{2}$ B、 $n \geq 3$ 时， $2^{n} > n^{2}$ C、 $n \geq 4$ 时， $2^{n} > n^{2}$ D、 $n \geq 5$ 时， $2^{n} > n^{2}$

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4. 某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表，
根据此表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ =9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为（）万元.

A、650 B、655 C、677 D、720

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5. 五种不同的商品在货架上排成一排，其中 $a$ ， $b$ 两种必须排在一起，而 $c$ ， $d$ 两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（）

A、12种 B、20种 C、24种 D、48种

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6. 将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”， B=“至少出现一个6点”，则条件概率 $P (A | B)$ ， $P (B | A)$ 分别等于（）

A、 $\frac{60}{91}$ ， $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{60}{91}$ C、 $\frac{20}{91}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{20}{91}$

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7. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 $a$ ， $b$ 分别为63，98，则输出的 $a =$ （）

A、9 B、3 C、7 D、14

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8. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）

A、 $\frac{2}{81}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{16}{81}$

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9. 给定两个命题p，q，若 $\neg$ p是q的必要而不充分条件，则p是 $\neg$ q的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $A B = 4 ， A A_{1} = 6$ .若 $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上的点，且 $B E = B_{1} E$ ， $C_{1} F = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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11. 已知 $A$ ， $B$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右顶点， $P$ 是 $C$ 上一点，且直线 $A P$ ， $B P$ 的斜率之积为2，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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12. 函数 $f (x) = x ln x$ ， $g (x) = a x^{2} - (2 a - 1) x$ ，若 $f (x) - g (x)$ 有极大值点 $x = 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $a > \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} < a < 1$ C、 $a < \frac{1}{2}$ D、 $a > 1$

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二、填空题

13. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 2) = 0.8$ ，则 $P (1 < ξ < 2)$ ．

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14. $(1 + x + x^{2}) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为．

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15. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) > 2 x$ 恒成立，则不等式 $f (4 - x) < f (x) - 8 x + 16$ 的解集为．

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16. 已知直线和直线 $l_{2} : x = - 1$ ，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的距离之和的最小值是.

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三、解答题

17. 命题 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + 2 a x + 4 > 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，命题 $q$ ：指数函数 $f (x) = {(3 - 2 a)}^{x}$ 是增函数，若 $p$ 或 $q$ 为真、 $p$ 且 $q$ 为假，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为 $\frac{4}{5}$ .第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 $\frac{2}{5}$ ，每次中奖均可获奖金400元.

(1)、求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 $X$ （元）的分布列；

(2)、某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A D = A B = 2 B C = 2$ ， $M$ 为 $P B$ 的中点，平面 $A D M$ 交 $P C$ 于 $N$ 点.、

(1)、求证： $P B ⊥ D N$ ；

(2)、求二面角 $P - D N - A$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2 ， (e$ 是自然对数的底数， $a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $k$ 为整数， $a = 1$ ，且当 $x > 0$ 时， $\frac{k - x}{x + 1} f^{'} (x) < 1$ 恒成立，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，求 $k$ 的最大值.

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21. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{7} c o s α \\ y = \sqrt{7} s i n α \end{matrix}$ （其中 $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{3}$ （ $ρ > 0$ ）与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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22. 选修4-5：不等式选讲
设不等式 $| x - 2 | < a$ （ $a \in N^{*}$ ）的解集为 $A$ ，且 $\frac{3}{2} \in A$ ， $\frac{1}{2} \notin A$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ 的最小值.

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