华东师大版数学八（下）第15章分式单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-02-04 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

1. 若分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $3$ D、 $1$ 或 $2$

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2. 若 $A = \frac{x}{x^{2} - 9}$ ， $B = \frac{2 x}{x - 3}$ ，则 $A \div B$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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3. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$ ，则 $\frac{a - 2 a b - b}{2 a - 2 b + 7 a b}$ 的值等于

A、6 B、 $- 6$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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4. 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、…、 $\frac{1}{2013}$ 、 $\frac{1}{2014}$ 、 $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A、﹣1 B、1 C、0 D、2015

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5. 若 $a = 3 b$ 且a、b为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（）

A、277 B、240 C、272 D、256

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6. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 $0.618$ 法就应用了黄金分割数．设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，得 $a b = 1$ ，记 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{1 + a^{n}} + \frac{n (n + 1)}{1 + b^{n}}$ （ $n$ 取正整数）， $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \frac{1}{S_{4}} + \frac{1}{S_{5}} + \frac{1}{S_{6}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 当分别取“-2015，-2014，-2013，…，-2-1，0，1， $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{2013}, \frac{1}{2014}$ ， $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（），

A、2015 B、1 C、0 D、-1

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8. 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x < 2 (x + 2) \\ 2 x - \frac{4 x + 1}{3} \geq \frac{a}{12} \end{array}$ 有且仅有3个整数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{2}{3 - y} - \frac{a y - 5}{y - 3} = 1$ 的解是正数，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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9. 甲、乙两个工程队分别承担一条 $10 k m$ 公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路 $x km$ ，另一半时间每天维修 $y km$ ；乙队维修前 $5 k m$ 公路时，每天维修 $x km$ ，维修后 $5 k m$ 公路时，每天维修 $y km(x \neq y)$ ，那么( )

A、甲队先完成任务
B、乙队先完成任务
C、甲、乙两队同时完成任务
D、不能确定哪个队先完成任务

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10. 下列说法中，正确的个数是（　　）
① 若 $| \frac{1}{a} | = \frac{1}{a}$ ，则 $a \geq 0$ ；
② 若 $| a | > | b |$ ，则 $(a + b) (a - b)$ 是正数；
③ A、B.、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④ 若代数式 $2 x + | 9 - 3 x | + | 1 - x | + 2011$ 的值与 $x$ 无关，则该代数式的值为 $2021$ ；
⑤ $a + b + c = 0$ ， $a b c < 0$ ，则 $\frac{b + c}{∣ a ∣} + \frac{a + c}{∣ b ∣} + \frac{a + b}{∣ c ∣}$ 的值为 $\pm 1$ 。

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

11. 方程 $\frac{3 x}{x + 1} = \frac{9}{x + 1}$ 的解是.

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12. 已知实数a，b，定义运算： $a ※ b = \{\begin{matrix} a^{b} (a > b, 且 a \neq 0) \\ a^{- b} （ a \leq b ，且 a \neq 0 ） \end{matrix}$ ，若 $a ※ (a$ -3)=1，则a= ．

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13. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{a}{x - 2} - \frac{x}{2 - x} = - 2$ 的解为非负整数，关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{5 x - a}{3} - x \leq 2 \\ 3 x < 2 x + 1 \end{array}$ 的解集为 $x < 1$ ，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为．

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14. 已知实数a，b，c满足不等式： $| a | \geq | b + c |, | b | \geq | a + c |, | c | \geq | a + b |$ ，则 $\frac{a (a + b c)}{b c} + \frac{b (b + a c)}{a c} + \frac{c (c + a b)}{a b}$ 的值为．

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15. 如图，标号为①②③④的长方形不重叠地围成长方形 $P Q M N$ ．已知①和②能够重合， ③和④能够重合，这四个长方形的面积均为 $S ， A E = x ， D E = y$ ，且 $x > y$ ．若代数式 $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}$ 的值为 0 ，则 $\frac{S_{长方形 P Q M N}}{S_{长方形 A B C D}} =$

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16. 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\frac{1}{4}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\frac{1}{16}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

17. 某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：

(1)、根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；

(2)、若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中 $A$ 型商品的件数不大于 $B$ 型商品的件数，且不小于78件，已知 $A$ 型商品的售价为240元/件， $B$ 型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式?

(3)、在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.

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18. 根据以下信息，探索完成任务：

素材1	采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的客车，其中 $A$ 型车每辆租金500元， $B$ 型车每辆租金400元
素材2	4辆 $A$ 型车和3辆 $B$ 型车坐满后共搭载200人，3辆 $A$ 型车和4辆 $B$ 型车坐满后共搭载185人．
素材3	该年级计划租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的客车共20辆，且 $A$ 型车的数量不少于 $B$ 型车的数量的7倍．

问题解决：

(1)、每辆

A

、

B

型车坐满后分别可以搭载几人？

(2)、请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金．

(3)、若该年级准备只租用

B

型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆

B

型车？有多少名学生参加研学活动？

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19. 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将 $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ 分式分解： $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)} = \frac{x + (x - 1)}{x (x - 1)} = \frac{x}{x (x - 1)} + \frac{x - 1}{x (x - 1)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}$ ．

(1)、将 $\frac{2 x + 1}{x (x + 1)}$ 分式分解的结果为________；

(2)、若 $\frac{5 x - 4}{m x^{2} - 3 x + 1}$ 可以分式分解为 $\frac{p}{x - 1} + \frac{q}{2 x - 1}$ （其中 $m$ ， $p$ ， $q$ 是常数），则 $p =$ ________， $q =$ ________；

(3)、当 $x > 1$ 时，判断 $\frac{2 x + 1}{x (x + 1)}$ 与 $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x^{2}}$ 的大小关系，并证明．

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20. 阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（ $糖水浓度 = \frac{糖的质量}{糖水的质量}$ ）．
小聪这杯糖水原来的浓度为 $\frac{b}{a}$ ，添加 $c$ 克糖后，糖水的浓度变成 $\frac{b + c}{a + c}$ ．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a} (a > b > 0, c > 0)$ ．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．

(1)、【特例验证】假设 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $\frac{b + c}{a + c}$ _____ $\frac{b}{a}$ ．（填“ $>$ 、 $<$ 或 $=$ ”）

(2)、【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．

(3)、【应用拓展】若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，证明： $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} < 2$

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21. 对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ．请解答下列问题．

(1)、计算： $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ；

(2)、计算： $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (\frac{1}{2025})$ ；

(3)、探究是否存在正数 $m$ 使得 ${[f (m + 1)]}^{2} + {[f (\frac{1}{m - 1})]}^{2} + \frac{1}{m} = {[f (\frac{1}{m + 1})]}^{2} + {[f (m - 1)]}^{2}$ 成立，若存在，请求出 $m$ 的值．

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22. 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作 $A$ ， $B$ 两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个 $A$ 分子模型与1个 $B$ 分子模型，制作一个A， $B$ 分子模型需要的小球、塑料管数量分别为 $5 : 4$ 与 $6 : 5$ ，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．

(1)、制作一个 $A$ ， $B$ 分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？

(2)、李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个 $A$ 模型和一个 $B$ 模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）

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23. 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ ；方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = \frac{1}{3}$ ；......

(1)、根据上面的规律，猜想 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的解为；

(2)、利用(1)中的结论，将方程 $y + \frac{y + 1}{y} = \frac{7}{2}$ 变形为 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的形式并求解；

(3)、解方程： $x + \frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{13}{3}$ .

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24. 如图①， “丰收1号”小麦试验田是边长为 a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了 500 kg.

(1)、①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m² ， “丰收2 号”小麦试验田的单位面积产量为 ▲ kg/m² ， ▲ 小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

(2)、在试验田四周(图②虚线部分)修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a 的值.

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25. 2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积 $4.82$ 平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．

(1)、乙队单独完工需要几个月才能完成任务？

(2)、为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？

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华东师大版数学八（下）第15章 分式 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

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