2015-2016学年山东省菏泽市高二上学期期末数学试卷（理科）（B卷）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知命题P：∀x∈R，x＞sinx，则P的否定形式为（）

A、￢P：∃x∈R，x≤sinx B、￢P：∀x∈R，x≤sinx C、￢P：∃x∈R，x＜sinx D、￢P：∀x∈R，x＜sinx

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2. 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（）

A、y²=﹣4x B、y²=﹣8x C、y²=﹣x D、y²=8x

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3. 在数列{a_n}中，a₁=2，2a_n+1=2a_n+1，n∈N^* ，则a₁₀₁的值为（）

A、49 B、50 C、51 D、52

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4. 在△ABC中，∠C= $\frac{π}{6}$ ，AC=2 $\sqrt{3}$ ，AB=2，则BC的长是（）

A、2 B、4 C、2或4 D、4或8

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5. 已知a＞b，则下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$ B、ac＞bc C、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ D、a²+b²＞2ab

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6. 不等式组 ${\begin{matrix} x > 0 \\ x + y < 3 \\ y > x + 1 \end{matrix}$ 表示的平面区域为M，直线y=kx﹣1与区域M没有公共点，则实数k的最大值为（）

A、3 B、0 C、﹣3 D、不存在

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7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“cosA= $\frac{b}{c}$ ”是“△ABC为Rt△”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也必要条件

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8.
已知长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ，下列向量的数量积一定不为0的是（）

A、 $\vec{A D_{1}} \cdot \vec{B_{1} C}$ B、 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{A C}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A D_{1}}$ D、 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{B C}$

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9. 下列选项中，说法正确的是（）

A、已知命题p和q，若“p∨q”为假命题，则命题p和q中必一真一假 B、命题“∃c∈R，方程2x²+y²=c表示椭圆”的否定是“∀c∈R，方程2x²+y²=c不表示椭圆” C、命题“若k＜9，则方程“ $\frac{x^{2}}{25 - k}$ + $\frac{y^{2}}{k - 9}$ =1表示双曲线”是假命题 D、命题“在△ABC中，若sinA＜ $\frac{1}{2}$ ，则A＜ $\frac{π}{6}$ ”的逆否命题为真命题

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y²=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y=± $\frac{3}{2} x$ B、y=± $\frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、y=± $\frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、y=± $\sqrt{3} x$

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二、填空题：

11. 若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则 $\frac{2}{a}$ + $\frac{3}{b}$ 的最小值是．

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12. 数列{a_n}中的前n项和S_n=n²﹣2n+2，则通项公式a_n= ．

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13. 已知一条双曲线的渐近线方程为y= $\frac{1}{2}$ x，且通过点A（3，3），则该双曲线的标准方程为．

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14. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．

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15. 设抛物线C：y²=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sinB= $\frac{b}{2 c}$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若b=2，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求c的值．

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17. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，△ABO的面积为2 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线C的渐近线方程；

(2)、求p的值．

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18. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ （p﹣2）x²+（2q﹣8）x+1（p＞2，q＞0）．

(1)、当p=q=3时，求使f（x）≥1的x的取值范围；

(2)、若f（x）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，2]上单调递减，求pq的最大值．

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19. 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD= $\sqrt{5}$ ．用向量法解决下列问题：

(1)、若AC的中点为E，求A₁C与DE所成的角；

(2)、求二面角B₁﹣AC﹣D₁（锐角）的余弦值．

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20. 已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃ ， a₅﹣3b₂=7．

(1)、求{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、设c_n=a_nb_n ， n∈N^* ，求数列{c_n}的前n项和．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F₁ ， F₂的距离之和为2 $\sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0， $\frac{1}{3}$ ）；
②存在椭圆上与右焦点F₂共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．

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