2015-2016学年湖北省黄石市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三内角的度数成等差数列．那么（　　）

A、甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

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2. 已知关于某设备的使用年限x（年）和所支出的费用y（万元），有如表所示的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
t
6.5
7.0
根据上表提供的数据，求出了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =1.23x+0.08，那么统计表中t的值为（）

A、5.5 B、5.0 C、4.5 D、4.8

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3. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．已知图中x=0.018，则由直观图估算出中位数（精确到0.1）的值为（）

A、75.5 B、75.2 C、75.1 D、75.3

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4. 下列四个命题：
（1）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 $\frac{1}{3}$ ；
（2）“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件；
（3）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
（4）设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是非零向量，已知命题p：若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ ；命题q：若 $\vec{a} ∥ \vec{b}, \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则“p∨q”是真命题．
其中说法正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

A、f（x）= $\frac{| x |}{x}$ B、f（x）=ln（ $\sqrt{x^{2} + 1}$ ﹣x） C、f（x）= $\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$ D、f（x）= $\frac{\sin^{2} x}{1 + \cos^{2} x}$

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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7. 直线L圆x²+（y﹣2）²=2相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线L的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 椭圆C的两个焦点分别是F₁ ， F₂ ，若C上的点P满足 $| P F_{1} | = \frac{3}{2} | F_{1} F_{2} |$ ，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A、 $e \leq \frac{1}{2}$ B、 $e \geq \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4} \leq e \leq \frac{1}{2}$ D、 $0 ＜ e \leq \frac{1}{4}$ 或 $\frac{1}{2} \leq e ＜ 1$

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9. 下边程序运行后，打印输出的结果是（）

A、﹣5和﹣6 B、1和﹣8 C、﹣8和﹣5 D、1和﹣6

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10. 设a，b是关于t的方程t²cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a²），B（b，b²）两点的直线与双曲线 $\frac{x^{2}}{\cos^{2} θ} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} θ}$ 1的公共点的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 样本（x₁ ， x₂…，x_n）的平均数为x，样本（y₁ ， y₂ ， …，y_m）的平均数为 $\bar{y}$ （ $\bar{x}$ ≠ $\bar{y}$ ）．若样本（x₁ ， x₂…，x_n ， y₁ ， y₂ ， …，y_m）的平均数 $\bar{z}$ =α $\bar{x}$ +（1﹣α） $\bar{y}$ ，其中0＜α＜ $\frac{1}{2}$ ，则n，m的大小关系为（）

A、n＜m B、n＞m C、n=m D、不能确定

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12.
如图，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B₁的中点，点P是侧面CDD₁C₁上的动点，且MP∥截面AB₁C，则线段MP长度的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} ， \sqrt{6}]$ B、 $[\sqrt{6} ， 2 \sqrt{2}]$ C、 $[\sqrt{6} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{6} ， 3]$

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二、填空题

13. 已知命题p：∃m∈R， $\frac{1}{m^{^{2}} + m - 6} ＞ 0$ ，则命题p的否定形式是．

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14. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，按系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，如果在第一组抽得的编号是0015，则在第21组抽得的编号是．

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15. 在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E，F分别为A₁B₁ ， B₁C₁的中点，则直线BE与直线CF所成角的余弦值是．

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16. 设点F是抛物线y²=2x的焦点，过抛物线上一点P，沿x轴正方向作射线PQ∥x轴，若∠FPQ的平分线PR所在直线的斜率为﹣2，则点P的坐标为．

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三、解答题

17. 函数f（x）=x⁵+ax⁴﹣bx²+1，其中a是1202_（₃_）对应的十进制数，b是8251与6105的最大公约数，试应用秦九韶算法求当x=﹣1时V₃的值．

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18. 设命题p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，q：x²+2x﹣8＞0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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19. 已知圆A：（x+2）²+y²=1，圆B：（x﹣2）²+y²=49，动圆P与圆A，圆B均相切．

(1)、求动圆圆心P的轨迹方程；

(2)、已知点N（2， $\frac{5}{3}$ ），作射线AN，与“P点轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．

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20. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

(1)、已知甲船上有男女乘客各3名，现从中任选3人出来做某件事情，求所选出的人中恰有一位女乘客的概率；

(2)、如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

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21. 三棱锥P﹣ABC，底面ABC为边长为2 $\sqrt{3}$ 的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．

(1)、求证DO∥面PBC；

(2)、求证：BD⊥AC；

(3)、设M为PC中点，求平面MBD和平面BDO所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知抛物线y²=4 $\sqrt{2}$ x的交点为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．

(1)、求椭圆标准方程；

(2)、求四边形ADBC的面积的最大值；

(3)、若M（x₁ ， y₁）N（x₂ ， y₂）是椭圆上的两动点，且满x₁x₂+2y₁y₂=0，动点P满足 $\vec{O P} = \vec{O M} + 2 \vec{O N}$ （其中O为坐标原点），是否存在两定点F₁ ， F₂使得|PF₁|+|PF₂|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．

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x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	t	6.5	7.0