2015-2016学年河北省承德市联校高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为（0，2，1），点B的坐标为（﹣2，0，3），则线段AB的中点坐标为（）

A、（﹣1，1，2） B、（﹣2，2，4） C、（﹣1，﹣1，1） D、（1，﹣1，2）

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2. 过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）

A、3x+2y﹣1=0 B、3x+2y+7=0 C、2x﹣3y+5=0 D、2x﹣3y+8=0

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）

A、y=±4x B、y=±2x C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{4} x$

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4. “﹣1＜x＜3”是“x²﹣2x＜8”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）

A、若α⊥β，则l∥m B、若l⊥m，则α∥β C、若l∥β，则m⊥α D、若α∥β，则l⊥m

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6. 已知直线l与直线2x﹣y+4=0关于x=1对称，则直线l的方程是（）

A、2x+y﹣8=0 B、3x﹣2y+1=0 C、x+2y﹣5=0 D、3x+2y﹣7=0

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7.
如图所示的长方体中，AB=2 $\sqrt{6}$ ，AD= $\sqrt{5}$ ， $C C_{1}$ = $2 \sqrt{3}$ ，E、F分别为 $A A_{1} ， A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线DE、BF所成角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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8. 已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）
X
﹣1
0
1
2
P
a
b
c
$\frac{1}{12}$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 将两名男生、两名女生发到三个不同的班取作经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（）

A、18 B、24 C、30 D、36

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10. 某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度的集合，则（）

A、 $\sqrt{5} \in A$ B、 $\sqrt{11} \in A$ C、 $\sqrt{7} \in A$ D、4∈A

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11. 命题p：∃a∈（﹣∞，﹣ $\frac{1}{4}$ ]，使得函数f（x）=|2^x+ $\frac{a}{2^{x}}$ |在[﹣ $\frac{1}{2}$ ，3]上单调递增；命题q：∀a∈[2，+∞），直线2x+y=0与双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ ﹣x²=1（a＞0）相交．则下列命题中正确的是（）

A、￢p B、p∧q C、（￢p）∨q D、p∧（￢q）

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12. 如图，直线l过抛物线y²=4x的交点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若 $\frac{B F}{B C} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则|AB|等于（）

A、5 B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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二、填空题

13. 二项式 ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项为．

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14. 已知倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线l过点（0，1），则直线l被圆x²+y²+4y﹣5=0截得的弦长为．

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15. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，且 $\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{2} P} = - 6$ ，则椭圆E的离心率是．

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16. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为．

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三、解答题

17. 已知点P（0，2）和圆C：x²+y²﹣8x+11=0．

(1)、求过点P，点C和原点三点圆的方程；

(2)、求以点P为圆心且与圆C外切的圆的方程．

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18. 如图，已知侧棱垂直底面的三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点．

(1)、求证：AC⊥BC；

(2)、求证：AC₁∥平面CDB₁ ．

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19. 某汽车配件厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的一等品率为 $\frac{4}{5}$ ，二等品率为 $\frac{1}{5}$ ；B型产品的一等品率为 $\frac{9}{10}$ ，二等品率为 $\frac{1}{10}$ ．生产1件A型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B型产品，若是一等品则获得6万元利润，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．

(1)、求生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率；

(2)、记X（单位：万元）为生产1件A型产品和1件B型产品可获得的利润，求X的分布列及期望值．

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20. 为了解某班学生喜爱体育运动是否与性别相关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱体育运动
不喜爱体育运动
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全部女生中随机调查2人，恰好调查到的2位女生都喜爱体育运动的概率为 $\frac{3}{20}$

(1)、请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）

(2)、能偶在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱体育运动与性别有关？说明你的理由；
下面的临界值表供参考：
P（K²≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．其中n=a+b+c+d）

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21. 如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F是CD上的点，AB=AE= $\frac{2}{3}$ AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，并使平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE⊥平面PEF．

(1)、求 $\frac{D F}{F C}$ 的比值；

(2)、求二面角E﹣PB﹣C的余弦值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，点M（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆C上，且△MF₁F₂为正三角形．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

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	喜爱体育运动	不喜爱体育运动	合计
男生		5
女生	10
合计			50

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

X	﹣1	0	1	2
P	a	b	c	$\frac{1}{12}$