2015-2016学年广东省深圳市宝安区高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 不等式x²﹣2x﹣5＞2x的解集是（）

A、{x|x≥5或x≤﹣1} B、{x|x＞5或x＜﹣1} C、{x|﹣1＜x＜5} D、{x|﹣1≤x≤5}

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1 ， 0)$ ，且 $\vec{a} + k \vec{b} 与 2 \vec{b} - \vec{a}$ 相互垂直，则k值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、1

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3. “x²=y²”是“x=y”的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若方程E： $\frac{x^{2}}{1 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2}$ =1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）

A、（1，2） B、（﹣∞，1）∪（2，+∞） C、（﹣∞，2） D、（1，+∞）

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5. 在△ABC中，a= $2 \sqrt{3}$ ，b= $2 \sqrt{2}$ ，B=45°，则A等于（）

A、30° B、60° C、60°或120° D、30°或150°

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6. 已知﹣1，a₁ ， a₂ ， 8成等差数列，﹣1，b₁ ， b₂ ， b₃ ， ﹣4成等比数列，那么 $\frac{a_{1} a_{2}}{b_{2}}$ 的值为（）

A、﹣5 B、5 C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 若动点M（x，y）始终满足关系式 $\sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}}$ + $\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}$ =8，则动点N的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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8. 已知等差数列{a_n}的前n项和S_n ，且满足 $s_{n + 1} = n^{2} - n$ ，则a₁=（）

A、4 B、2 C、0 D、﹣2

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9. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 3 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）

A、3 B、2 C、﹣2 D、﹣3

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10. 在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是（）

A、（0， $\frac{π}{2}$ ） B、（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ） C、（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ） D、（0， $\frac{π}{6}$ ]

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11. 已知直线l：y=kx+2k+1与抛物线C：y²=4x，若l与C有且仅有一个公共点，则实数k的取值集合为（）

A、 ${- 1, \frac{1}{2}}$ B、{﹣1，0} C、 ${- 1, 0, \frac{1}{2}}$ D、 ${0, \frac{1}{2}}$

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12. 已知圆C₁：x²+y²=b²与椭圆C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1，若在椭圆C₂上存在一点P，使得由点P所作的圆C₁的两条切线互相垂直，则椭圆C₂的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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二、填空题

13. 已知命题p：∀x∈R，x²+1＞m；命题q：指数函数f（x）=（3﹣m）^x是增函数．若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则实数m的取值范围为．

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14. 已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} + γ \vec{O C}$ ，则实数λ+μ+γ= ．

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15. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=﹣1，a_n+1=S_n•S_n+1 ，则数列{a_n}的通项公式a_n= ．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4}$ =1，点M与曲线C的焦点不重合，若点M关于曲线C的两个焦点的对称点分别为A，B，M，N是坐标平面内的两点，且线段MN的中点P恰好在双曲线C上，则|AN﹣BN|= ．

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三、解答题：

17. 设命题p：x²﹣4ax+3a²＜0（其中a＞0，x∈R），命题q：﹣x²+5x﹣6≥0，x∈R．

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n ， b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^* ．点（b_n ， n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、令C_n= $\frac{1}{a_{n} \cdot f (b_{2 n - 1})}$ ，求数列{C_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．

(1)、若△ABC面积S_△_ABC= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，c=2，A=60°，求a、b的值；

(2)、若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

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20. 已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：

(1)、当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；

(2)、当|MA|²+|MB|²取得最小值时，直线l的方程．

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21. 如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD的中点．

(1)、求证：B₁E⊥AD₁

(2)、若二面角A﹣B₁E﹣A₁的大小为30°，求AB的长．

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22.
如图示，A，B分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF与|FB|的等差中项， $\sqrt{3}$ 是|AF|与|FB|的等比中项．点P是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线l⊥x轴．以线段AF为直径的圆交直线AP于点A，M，连接FM交直线l于点Q．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线PQ必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，若不存在，说明理由．

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