2015-2016学年广东省东莞市高二上学期期末数学试卷（理科）（B卷）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）

A、第13项 B、第14项 C、第15项 D、第16项

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、y=±2x B、y=± $\frac{1}{2}$ x C、y= $\pm \sqrt{5}$ x D、y= $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ x

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3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，a= $\sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{3}$ ，B=60°，那么角A等于（）

A、30° B、45° C、135°或45° D、135°

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4. 命题“∀n∈N^* ， f（n）∈N^*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A、∀n∈N^* ， f（n）∉N^*且f（n）＞n B、∀n∈N^* ， f（n）∉N^*或f（n）＞n C、∃n₀∈N^* ， f（n₀）∉N^*且f（n₀）＞n₀ D、∃n₀∈N^* ， f（n₀）∉N^*或f（n₀）＞n₀

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5.
已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ，下列向量的数量积不为0的是（）

A、 $\vec{A D_{1}} \cdot \vec{B_{1} C}$ B、 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{A C}$ C、 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{B C}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A D_{1}}$

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6. 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状一定是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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7. 已知a，b都是实数，那么“a²＞b²”是“a＞b＞0”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知椭圆的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} + x^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = 1$

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9. 南沙群岛自古以来都是中国领土，南沙海域有A、B两个岛礁相距100海里，从A岛礁望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰航在A岛礁处时候B岛礁处指挥部的命令，前往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）

A、100（ $\sqrt{3}$ +1）海里 B、50（ $\sqrt{3}$ +1）海里 C、50 $\sqrt{3}$ 海里 D、50 $\sqrt{6}$ 海里

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10. 已知数列{a_n}是公比为2的等比数列，且4a₁为a_m ， a_n的等比中项，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、不存在

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11. 已知{a_n}是首项为9的等比数列，S_n是前n项和，且 $\frac{s_{6}}{s_{3}}$ = $\frac{28}{27}$ ，则数列{log₃a_n}前9项和为（）

A、54 B、﹣18 C、18 D、﹣36

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12. 已知F₁ ， F₂为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的左、右焦点，过点F₂作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足| $\vec{M F_{1}}$ |=3| $\vec{M F_{2}}$ |，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

13. 已知数列{a_n}的前n项和 $s_{n} = 2 n^{2} + n$ ，则a_n= ．

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ．则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为．

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15. 直线y=x﹣2与抛物线y²=8x交于A，B两点，则|AB|= ．

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16. 下列四种说法：
①垂直于同一平面的所有向量一定共面；
②在△ABC中，已知 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ ，则∠A=60°；
③在△ABC中，sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，则A= $\frac{π}{3}$
④若a＞0，b＞0，a+b=2，则a²+b²≥2；
正确的序号有．

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三、解答题

17. 已知p：x²﹣6x+5≤0，q：x²﹣2x+1﹣m²≤0（m＞0）．

(1)、若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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18. 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2cosA= $\sqrt{4 \cos A - 1}$ ．

(1)、若a²﹣c²=b²﹣mbc，求实数m的值；

(2)、若a=2，求△ABC面积的最大值．

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19. 东莞某家具生产厂家根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产书桌、书柜、电脑椅共120张，且书桌至少生产20张．已知生产这些家具每张所需工时和每张产值如表：
家具名称
书桌
书柜
电脑椅
工时
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
产值（千元）
4
3
2
问每周应生产书桌、书柜、电脑椅各多少张，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）

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20. 设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n﹣a₁ ，且a₁ ， a₂+1，a₃成等差数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和T_n ，求使得 $| T_{n} - 1 | < \frac{1}{2016}$ 成立的n的最小值．

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21. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．

(1)、求证：SC⊥平面AMN；

(2)、求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．

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22. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $A (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点F₁ ， F₂分别为其左、右焦点．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且 $\vec{O P} ⊥ \vec{O Q}$ ？若存在，求出该圆的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，请说明理由．

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家具名称	书桌	书柜	电脑椅
工时	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$
产值（千元）	4	3	2