2015-2016学年广东省潮州市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 不等式x²＞x的解集是（）

A、（﹣∞，0） B、（0，1） C、（1，+∞） D、（﹣∞，0）∪（1，+∞）

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2. 下列命题正确的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＞﹣b，则﹣a＞b C、若ac＞bc，则a＞b D、若a＞b，则a﹣c＞b﹣c

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3. 下列命题中，假命题是（）

A、∀x∈N^* ，（x﹣2）²＞0 B、∃x₀∈R，tanx₀=2 C、∃x₀∈R，log₂x₀＜2 D、∀x∈R，3^x^﹣²＞0

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4. 已知命题p：﹣1≤x≤5，命题q：（x﹣5）（x+1）＜0，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（﹣1，x，3）， $\vec{b}$ =（2，﹣4，y），且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，那么x+y等于（）

A、﹣4 B、﹣2 C、2 D、4

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6. 等差数列{a_n}的前n项和是S_n ，若a₁+a₂=5，a₅+a₆=13，则S₆的值为（）

A、18 B、27 C、36 D、46

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7. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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9. 已知空间向量 $\vec{a}$ =（1，n，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，1，2），若2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则| $\vec{a}$ |等于（　　）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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10. 已知a＞0，b＞0，且2a+3b=6，则 $\frac{3}{a}$ + $\frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{25}{6}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、4

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11. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁ ，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 已知点A（﹣2，0），B（2，0），P（x₀ ， y₀）是直线y=x+3上任意一点，以A，B为焦点的椭圆过P，记椭圆离心率e关于x₀的函数为e（x₀），那么下列结论正确的是（）

A、e与x₀一一对应 B、函数e（x₀）无最小值，有最大值 C、函数e（x₀）是增函数 D、函数e（x₀）有最小值，无最大值

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二、填空题

13. 若x，y满足不等式 ${\begin{matrix} x + y \leq 1 \\ x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最小值为．

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14. 设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，8a₂﹣a₅=0，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}}$ = ．

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15. 如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔60海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东偏南45°的N处，则该船航行的速度为海里/小时．

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16. 设P（x₀ ， y₀）是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一动点，F₁ ， F₂是椭圆的两个焦点，则 $\sqrt{| P F_{1} |}$ • $\sqrt{| P F_{2} |}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知命题p：∀x∈R，ax²+ax+1＞0及命题q：∃x₀∈R，x₀²﹣x₀+a=0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

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18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b = \sqrt{2} a \sin B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{6}$ ， $c = \sqrt{3} + 1$ ，求a．

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19. 某水利工程队相应政府号召，计划在韩江边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为32400m²的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最少．

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20. 如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．

(1)、证明：BE⊥CD′；

(2)、求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．

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21. 已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，a_n＞0，且满足a_n+1²﹣a_n=a_n+1+a_n²（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)、设 $c_{n} = 4^{n} - λ \cdot 2^{a_{n}}$ （λ为正偶数，n∈N^*），是否存在确定λ的值，使得对任意n∈N^* ，有C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

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22. 如图，已知圆E：（x+ $\sqrt{3}$ ）²+y²=16，点F（ $\sqrt{3}$ ，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

(1)、求动点Q的轨迹Γ的方程；

(2)、设直线l与（1）中轨迹Γ相交于A，B两点，直线AO，l，OB的斜率分别为k₁ ， k，k₂（其中k＞0），若k₁ ， k，k₂恰好构成公比不为1的等比数列，求k的值．

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