2015-2016学年北京市朝阳区高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 圆（x﹣2）²+y²=4被直线x=1截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 抛物线y²=2x上与其焦点距离等于3的点的横坐标是（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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3. 已知p：“x＞2”，q：“x²＞4”，则p是q的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、即不充分也不必要条件

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4. 已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，下列说法正确的是（）

A、若a∥α，b⊥a，则b∥α B、若a∥α，a∥β，则α∥β C、若α⊥β，a⊥α，则a∥β D、若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β

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5. 在圆x²+y²=16上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、x²+y²=4 C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$

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6. 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A}$ = $\vec{c}$ ．则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、﹣ $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\vec{c}$

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7. 若由方程x²﹣y²=0和x²+（y﹣b）²=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）

A、 $b \geq 2 \sqrt{2}$ 或 $b \geq - 2 \sqrt{2}$ B、b≥2或b≤﹣2 C、﹣2≤b≤2 D、 $- 2 \sqrt{2} \leq b \leq 2 \sqrt{2}$

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8. 设O是坐标原点，若直线l：y=x+b（b＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点P₁、P₂ ，且 $| \vec{P_{1} P_{2}} | \geq | \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} |$ ，则实数b的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{64}{3}$

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10. 已知动圆C位于抛物线x²=4y的内部（x²≤4y），且过该抛物线的顶点，则动圆C的周长的最大值是（）

A、π B、2π C、4π D、16π

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二、填空题

11. 写出命题p：”任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定¬p：；判断¬p是命题．（后一空中填“真”或“假”）

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12. 已知A（8，0），B（0，6），O（0，0），则△AOB的外接圆的方程是．

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13. 中心在原点，焦点在y轴上，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ 并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为．

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14. 过椭圆C： $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{3}$ =1的右焦点F₂的直线与椭圆C相交于A，B两点．若 $\vec{A F_{2}}$ = $\vec{F_{2} B}$ ，则点A与左焦点F₁的距离|AF₁|= ．

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15. 如图为四棱锥P﹣ABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形， $A B = \sqrt{2}$ ，AD=1．已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为 $\sqrt{2}$ ，则在四棱锥P﹣ABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为．

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16. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，N为CD₁中点，M为线段BC₁上的动点，（M不与B，C₁重合）有四个命题：
①CD₁⊥平面BMN；
②MN∥平面AB₁D₁；
③平面AA₁CC₁⊥平面BMN；
④三棱锥D﹣MNC的体积有最大值．
其中真命题的序号是．

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三、解答题

17.
如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD₁ ， A₁D₁的中点．

(1)、求证：平面CMN∥平面A₁DE；

(2)、求证：平面A₁DE⊥平面A₁AE．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且 $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设 $\frac{P M}{M C} = k$ （M与C不重合）．

(1)、求证：CD⊥DP；

(2)、若PA∥平面BME，求k的值；

(3)、若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．

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19. 已知椭圆W： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点O作直线l₁交椭圆W于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的动点，连接PA，PB，设直线PA，PB的斜率分别为k₁ ， k₂（k₁ ， k₂≠0），过O作直线PA，PB的平行线l₂ ， l₃ ，分别交椭圆W于C，D和E，F．

(1)、若A，B分别为椭圆W的左、右顶点，是否存在点P，使∠APB=90°？说明理由．

(2)、求k₁•k₂的值；

(3)、求|CD|²+|EF|²的值．

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