2015-2016学年北京市昌平区高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-10-14 类型：期末考试

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一、选择题

1. 抛物线y²=10x的焦点到准线的距离是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、 $\frac{15}{2}$ D、10

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2. 过点（2，﹣1）且倾斜角为60°的直线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x - y - 2 \sqrt{3}$ ﹣1=0 B、 $\sqrt{3} x - 3 y - 2 \sqrt{3}$ ﹣3=0 C、 $\sqrt{3} x - y + 2 \sqrt{3}$ +1=0 D、 $\sqrt{3} x - 3 y + 2 \sqrt{3} + 3 = 0$

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3. 若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）

A、p∧q B、（￢p）∨q C、（￢p）∧q D、（￢p）∨（￢q）

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4. 已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5.
如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是面对角线A₁B与B₁D₁的中点，若 $\vec{D A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{D C}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{D D_{1}}$ = $\vec{c}$ ，则 $\vec{M N}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ （ $\vec{c}$ + $\vec{b}$ ﹣ $\vec{a}$ ） B、 $\frac{1}{2}$ （ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ﹣ $\vec{c}$ ） C、 $\frac{1}{2}$ （ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{c}$ ） D、 $\frac{1}{2}$ （ $\vec{c}$ ﹣ $\vec{a}$ ）

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y=±2x B、y=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x C、y=± $\frac{1}{2}$ x D、y=± $\sqrt{2}$ x

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A、2+2 $\sqrt{2}$ B、2+ $\sqrt{2}$ C、4+2 $\sqrt{2}$ D、4+ $\sqrt{2}$

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8. 从点P（2，﹣1）向圆x²+y²﹣2mx﹣2y+m²=0作切线，当切线长最短时m的值为（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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9. 已知点F₁ ， F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2}$ =1的焦点，点M在椭圆C上且满足| $\vec{M F_{1}}$ + $\vec{M F_{2}}$ |=2 $\sqrt{3}$ ，则△MF₁F₂的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、2

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10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点M是左侧面ADD₁A₁上的一个动点，满足 $\vec{B C_{1}}$ • $\vec{B M}$ =1，则 $\vec{B C_{1}}$ 与 $\vec{B M}$ 的夹角的最大值为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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二、填空题

11. 若命题P：∃x∈R，x²+2x+2＞0，则￢p：．

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12. 已知 $\vec{a}$ =（1，﹣3，1）， $\vec{b}$ =（﹣1，1，﹣3），则| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= ．

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13. 若直线（1+a）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行，则a的值为．

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14. 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，设 AD=AA₁=1，AB=2，P是C₁D₁的中点，则 $\vec{B_{1} C} 与 \vec{A_{1} P}$ 所成角的大小为， $\vec{B_{1} C} \cdot \vec{A_{1} P}$ = ．

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15. 已知P是抛物线y²=8x上的一点，过点P向其准线作垂线交于点E，定点A（2，5），则|PA|+|PE|的最小值为；此时点P的坐标为．

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16. 已知直线l：kx﹣y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程：
①y=﹣|x|；
②x²+y²﹣2y=0；
③y=（x+1）² ．
其中，具有性质P的曲线的序号是．

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三、解答题

17. 已知圆C：x²+y²﹣2x﹣4y+1=0．

(1)、求过点M（3，1）的圆C的切线方程；

(2)、若直线l：ax﹣y+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求a的值．

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18. 在直平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁=1．

(1)、求证：OC₁∥平面AB₁D₁

(2)、求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁

(3)、求三棱锥A₁﹣AB₁D₁的体积．

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点A（0，﹣1）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如果过点 $B (0 ， \frac{3}{5})$ 的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：△AMN为直角三角形．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点．

(1)、求证：MN∥BC；

(2)、若M，N分别为PB，PC的中点，
①求证：PB⊥DN；
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．

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21. 抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．

(1)、求p的值；

(2)、线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；

(3)、求直线l的斜率的取值范围．

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