2015-2016学年北京市昌平区高二上学期期末数学试卷(理科)
试卷更新日期:2016-10-14 类型:期末考试
一、选择题
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1. 抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )A、 B、5 C、 D、102. 过点(2,﹣1)且倾斜角为60°的直线方程为( )A、﹣1=0 B、﹣3=0 C、+1=0 D、3. 若命题p是真命题,命题q是假命题,则下列命题一定是真命题的是( )A、p∧q B、(¬p)∨q C、(¬p)∧q D、(¬p)∨(¬q)4. 已知平面α和直线a,b,若a∥α,则“b⊥a”是“b⊥α”的( )A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件5.
如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若 = , = , = ,则 =( )
A、( + ﹣ ) B、( + ﹣ ) C、( ﹣ ) D、( ﹣ )6. 已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为( )A、y=±2x B、y=± x C、y=± x D、y=± x7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A、2+2 B、2+ C、4+2 D、4+8. 从点P(2,﹣1)向圆x2+y2﹣2mx﹣2y+m2=0作切线,当切线长最短时m的值为( )A、﹣1 B、0 C、1 D、29. 已知点F1 , F2是椭圆C: =1的焦点,点M在椭圆C上且满足| + |=2 ,则△MF1F2的面积为( )A、 B、 C、1 D、210. 如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M是左侧面ADD1A1上的一个动点,满足 • =1,则 与 的夹角的最大值为( )A、30° B、45° C、60° D、75°二、填空题
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11. 若命题P:∃x∈R,x2+2x+2>0,则¬p: .12. 已知 =(1,﹣3,1), =(﹣1,1,﹣3),则| ﹣ |= .13. 若直线(1+a)x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行,则a的值为 .14. 如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,设 AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则 所成角的大小为 , = .15. 已知P是抛物线y2=8x上的一点,过点P向其准线作垂线交于点E,定点A(2,5),则|PA|+|PE|的最小值为;此时点P的坐标为 .16. 已知直线l:kx﹣y+1=0(k∈R).若存在实数k,使直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=|k|,则称曲线C具有性质P.给定下列三条曲线方程:
①y=﹣|x|;
②x2+y2﹣2y=0;
③y=(x+1)2 .
其中,具有性质P的曲线的序号是 .
三、解答题
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17. 已知圆C:x2+y2﹣2x﹣4y+1=0.(1)、求过点M(3,1)的圆C的切线方程;(2)、若直线l:ax﹣y+4=0与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为 ,求a的值.18. 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1=1.(1)、求证:OC1∥平面AB1D1(2)、求证:平面AB1D1⊥平面ACC1A1(3)、求三棱锥A1﹣AB1D1的体积.19. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点A(0,﹣1).(1)、求椭圆C的标准方程;(2)、如果过点 的直线与椭圆交于M,N两点(M,N点与A点不重合),求证:△AMN为直角三角形.20. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.(1)、求证:MN∥BC;(2)、若M,N分别为PB,PC的中点,
①求证:PB⊥DN;
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值.
21. 抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1 , y1),B(x2 , y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8.(1)、求p的值;(2)、线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点,若是,求出交点坐标,若不是,说明理由;(3)、求直线l的斜率的取值范围.