四川省成都市郫县2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）

A、（﹣1，3） B、（﹣1，0） C、（0，2） D、（2，3）

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2. 设z= $\frac{1}{1 + i}$ +i，则|z|=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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3. 已知 $\vec{a}$ =（1，﹣1）， $\vec{b}$ =（﹣1，2）则（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）• $\vec{a}$ =（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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4. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， {(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{3})}^{x}$ ；命题q：∃x₀∈R，x₀²﹣x₀﹣1=0；则下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、p∨¬q C、¬p∧q D、¬p∧¬q

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5. 已知 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，且α为第二象限角，则 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ =（）

A、 $- \frac{19}{5}$ B、 $- \frac{5}{19}$ C、 $- \frac{31}{17}$ D、 $- \frac{17}{31}$

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6. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过F₂的直线l交C于A、B两点，若△AF₁B的周长为4 $\sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ +y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4}$ =1

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7. 若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）

A、a^c＜b^c B、ab^c＜ba^c C、alog_bc＜blog_ac D、log_ac＜log_bc

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8. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）

A、 $\frac{3 π}{10}$ B、 $\frac{3 π}{20}$ C、 $1 - \frac{3 π}{10}$ D、 $1 - \frac{3 π}{20}$

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9. 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且 $\frac{s i n B - s i n A}{s i n C} = \frac{\sqrt{3} a + c}{a + b}$ ，若将函数f（x）=2sin（2x+B）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）

A、 $2 s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $2 c o s (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、2sin2x D、2cos2x

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10. 已知函数f（x）=﹣ $\frac{1}{3} x^{3} + b x^{2}$ +cx+bc在x=1处有极值﹣ $\frac{4}{3}$ ，则b=（）

A、﹣1 B、1 C、1或﹣1 D、﹣1或3

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11. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{17}}{8}$ B、 $\frac{5 \sqrt{17}}{16}$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{8}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{16}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ | l o g_{4} x | ， x > 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程f²（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 2 \sqrt{3} - 2 ， 2 \sqrt{3} - 2)$ B、 $(2 \sqrt{3} - 2 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(2 \sqrt{3} - 2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{8} 的展开式中 x^{4}$ 的系数是．

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14. 抛物线x²=8y的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的距离是．

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15. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则实数t= ．

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16. 已知曲线C₁：y²=px（y＞0，p＞0）在点 $M (\frac{4}{p} ， 2)$ 处的切线与曲线C₂：y=e^x+1﹣1也相切，则 $\frac{1}{2} p l n \frac{4 e^{2}}{p}$ 的值是．

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三、解答题

17. 等比数列{a_n}的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1 ， a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n ，求数列 ${- \frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和T_n ．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + s i n (ω x - \frac{π}{6}) - 2 c o s^{2} \frac{ω x}{2}$ ，x∈R，ω＞0．

(1)、求函数f（x）的值域；

(2)、若函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，求函数y=f（x）的单调区间．

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19. 某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 $\frac{1}{9}$ ，求甲在初赛中答题个数X的分布列及数学期望E（X）

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20. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．

(1)、求证：AM∥平面SCD；

(2)、求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；

(3)、设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

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21. 设函数f（x）= $\frac{x}{e^{2 x}}$ +c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 6 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l₁交C于A，B两点，求|AB|．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|+|m﹣x|（其中m∈R）．
（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥8对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

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