山东省烟台市2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合M={x|x²+x﹣12≤0}，N={y|y=3^x ， x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）

A、（0，3] B、[﹣4，3] C、[﹣4，0） D、[﹣4，0]

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2. 等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂=（）

A、15 B、30 C、31 D、64

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3. 已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）

A、c^a＞c^b B、 $\frac{a}{a - c} > \frac{b}{b - c}$ C、ba^c＞ab^c D、log_ac＞log_bc

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4. 设函数f（x）= $\frac{l n x}{x + a}$ ，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（）

A、﹣1或﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣ $\frac{3}{2}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、1或﹣ $\frac{1}{2}$

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5. 已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（）

A、图象关于点（﹣ $\frac{π}{3}$ ，0）中心对称 B、图象关于x=﹣ $\frac{π}{6}$ 轴对称 C、图象关于点（﹣ $\frac{π}{6}$ ，0）中心对称 D、图象关于x=﹣ $\frac{π}{3}$ 轴对称

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6. 两个非零向量 $\vec{a}$ ，b满足| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=2| $\vec{b}$ |，则向量 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 函数f（x）= $\frac{c o s (x - \frac{π}{2})}{l n (x + 2)}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知正数x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y \leq 0 \\ x - 3 y + 5 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=（ $\frac{1}{8}$ ）^x•（ $\frac{1}{2}$ ）^y的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{32}$

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9. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= $\frac{2}{3}$ ，则cos（α﹣β）=（）

A、1或 $\frac{1}{9}$ B、﹣1或﹣ $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、﹣ $\frac{1}{9}$

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10. 设函数f（x）=3cos $\frac{π}{m}$ x，若存在f（x）的非零极值点x₀满足x₀²+f（x₀）＜4m，则实数m的取值范围为（）

A、（1，3） B、（2﹣ $\sqrt{7}$ ，2+ $\sqrt{7}$ ） C、（3，+∞） D、（2+ $\sqrt{7}$ ，+∞）

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11. 已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y= $\frac{x}{x - 1}$ ﹣f（x）有四个零点x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，则x₁+x₂+x₃+x₄=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若 $\frac{f (x)}{f' (x)}$ ＞x，则下列不等关系成立的是（）

A、f（2）＜2f（1） B、3f（2）＞2f（3） C、ef（e）＜f（e²） D、ef（e²）＞f（e³）

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ =（1，﹣1）， $\vec{b}$ =（t，1），若（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）∥（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），则实数t= ．

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14. 已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若 $\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ＞m恒成立，则实数m的取值范围是．

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15. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣m，则f（2107）= ．

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16. 在△ABC中， $\vec{A C}$ • $\vec{B C}$ =2 $\sqrt{2}$ ，其面积为 $\sqrt{2}$ ，则sin2A+sin2B的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{m}$ =（sinx，cos²x）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ cosx，1），x∈R，设f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ．

(1)、求f（x）的解析式及单调递增区间；

(2)、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

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18. 设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足a_n+1= $\sqrt{4 S_{n} + 4 n + 1}$ ，n∈N^* ，且a₂ ， a₅ ， a₁₄构成等比数列．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若对一切正整数n都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}}$ + $\frac{1}{a_{2} a_{3}}$ +…+ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ＜ $\frac{7 a}{8}$ ，求实数a的最小值．

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19. 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）²+ $\frac{b}{x - 1}$ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= $\frac{2800}{x}$ ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．

(1)、求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；

(2)、若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（ $\sqrt{7}$ ≈2.65）

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20. 已知函数f（x）=alnx+ $\frac{2 x + 3}{x + 1}$ （a∈R）．

(1)、若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；

(2)、若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

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21. 已知a为实常数，函数f（x）=e^x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数f（x）=|x﹣a|+ $\frac{1}{2 a}$ （a≠0）．

(1)、若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；

(2)、若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值．

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