山东省泰安市2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁_UA）∩B=（）

A、{7} B、{3，5} C、{1，3，6，7} D、{1，3，7}

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2. “a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 下列函数在（0，2）上是增函数的是（）

A、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (2 - x)$ B、 $y = \frac{1}{x - 2}$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x - 2}$ D、 $y = \sqrt{2 - x}$

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4. 已知| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ |=2，（ $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ）•（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）=﹣2，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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5. 定积分 $\int_{1}^{3} (2 x - \frac{1}{x}) d x$ =（）

A、10﹣ln3 B、8﹣ln3 C、 $\frac{22}{3}$ D、 $\frac{64}{9}$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为4π，则（）

A、函数f（x）的图象关于原点对称 B、函数f（x）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数f（x）图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D、函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

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7. 函数f（x）=（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若AB=2， $A D = \sqrt{2}$ ，∠BAD=45°，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B E}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、﹣ $\frac{1}{2}$ D、-1

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} l o g_{a} x ， x > 0 \\ | x + 3 | ， - 4 \leq x < 0 \end{matrix}$ （a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）

A、（0，1） B、（1，4） C、（0，1）∪（1，+∞） D、（0，1）∪（1，4）

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10. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（）
①f（ $\frac{π}{3}$ ）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函数f（x）在（ $\frac{π}{2}$ ，π）上为减函数
③任意x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，都有f（x）+f（π﹣x）=4．

A、① B、③ C、② D、①②③

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11. 如图，点A，B在函数y=log₂x+2的图象上，点C在函数y=log₂x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，则点A的横坐标为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x² ，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）

A、[﹣2，2] B、[2，+∞） C、[0，+∞） D、（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

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二、填空题

13. 命题“∃x₀∈R，2x₀²＜cosx₀”的否定为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{e^{x}}$ 在x=1处的切线的斜率为．

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15. 已知{a_n}是公差为1的等差数列，S_n为其前n项和，若S₈=4S₄ ，则a₉= ．

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16. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=2^x ，则在区间（4，6]上满足f（x）=f（3）+12的实数x的值为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系中，O为原点， $\vec{O A} = (1 ， 0) ， \vec{O B} = (2 c o s^{2} \frac{β}{2} ， s i n α) ， \vec{O C} = (2 c o s^{2} \frac{α}{2} ，$ sinβ），0＜β＜α＜π．
（I）若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C} ，求 | \vec{B C}$ |；
（Ⅱ）设 $\vec{O D} = (1 ， 1) 若 \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ ，求α，β的值．

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18. 已知命题p：函数f（x）=（m²﹣1） $\sqrt{x} ，在 \in (0 ， + \infty)$ 上为增函数；命题q：函数g（x）=x²﹣2elnx﹣m有零点．
（I）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

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19. 如图，A、B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距 $5 \sqrt{6}$ 海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距 $20 \sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

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20. 已知函数 $f (x) = 2 c o s x c o s (\frac{π}{3} - x) - \frac{1}{2}$ ．
（I）若α是第二象限角，且 $t a n α = - \sqrt{2} ，求 f (α)$ 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

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21. 已知数列{a_n}的首项为a₁=2，且满足a₁+a₂+…+a_n﹣a_n+1=﹣2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 $b_{n} = \frac{1}{n} l o g_{2} (a_{1} a_{2} \dots a_{n}) (n \in N^{*})$ ，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n ．

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣x+m（m∈R）的图象与x轴相交于A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜x₂ ．
（I）若函数f（x）的最大值为2，求m的值；
（Ⅱ）若 $x > 1 时， f (x) < k (1 - \frac{3}{x}) + x f' (x) + m - 2 (k \leq 2)$ 恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：x₁x₂＜1．

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