江西省赣州市十四县（市）2017-2018学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. A={x|y=lg（x²+3x﹣4）}， $B = {y | y = 2^{1 - x^{2}}}$ ，则A∩B=（）

A、（0，2] B、（1，2] C、∅ D、（﹣4，0）

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2. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＜b＜0，则a²＞ab＞b² C、若a＜b＜0，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若a＜b＜0，则 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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3. 下列四种说法正确的是（）
①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件；
②命题“ $\forall x \in R ， {(\frac{1}{3})}^{x} > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， {(\frac{1}{3})}^{x} < 0$ ”；
③命题“若x=2，则x²﹣3x+2=0”的逆否命题是真命题；
④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则p∧q为真命题．

A、①②③④ B、②③ C、③④ D、③

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4. 设x=0.2^0.3 ， y=0.3^0.2 ， z=0.3^0.3 ，则x，y，z的大小关系为（）

A、x＜z＜y B、y＜x＜z C、y＜z＜x D、z＜y＜x

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a_n ，则 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{29} + a_{31}}{a_{2} + a_{4} + \dots + a_{28} + a_{30}}$ 的值为（）

A、 $\frac{16}{5}$ B、 $\frac{16}{15}$ C、 $\frac{16}{29}$ D、 $\frac{16}{31}$

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6. 若变量x，y满足|x|﹣ln $\frac{1}{y}$ =0，则y关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 方程 $l o g_{\frac{1}{2}} (a - 2^{x}) = 2 + x$ 有解，则a的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）

A、f（x）=4sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{3}{4}$ π） B、f（x）=4sin（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{4}$ ） C、f（x）=4sin（ $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{π}{4}$ ） D、f（x）=4sin（ $\frac{2}{3}$ x+ $\frac{π}{4}$ ）

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9. 设a∈R，若函数y=x+alnx在区间 $(\frac{1}{e} ， e)$ 上有极值点，则a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， e)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}) \cup^{} (e ， + \infty)$ C、 $(- e ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty ， - e) \cup^{} (- \frac{1}{e} ， + \infty)$

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10. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} l o g_{2} (1 - x) + 1 ， - 1 \leq x < 0 \\ x^{3} - 3 x + 2 ， 0 \leq x \leq a \end{matrix}$ 的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）

A、（0，1] B、[1， $\sqrt{3}$ ] C、[1，2] D、[ $\sqrt{3}$ ，2]

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} - l n x - x ， x > 0 \\ - l n (- x) + x ， x < 0 \end{matrix}$ ，则关于m的不等式 $f (\frac{1}{m}) < l n \frac{1}{2} - 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、（0，2） C、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{2} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{1}{2})$

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12. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=﹣e^﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x₁ ， x₂∈R，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＜2．其中正确命题的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为45°，且 $| \vec{a} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $| \vec{b} |$ = ．

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14. $\int_{- 1}^{1}$ （x²+ $\sqrt{1 - x^{2}}$ ）dx= ．

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15. 在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，a，b，c成等比数列， $a + c = 3 ， c o s B = \frac{3}{4}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ = ．

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16. 已知定义在R上的函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x^{2} + x | ， x \leq 0 \\ l n (x + 1) ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数g（x）=f（x）﹣a（x+1）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知正项等比数列{a_n}满足a₁ ， 2a₂ ， a₃+6成等差数列，且a₄²=9a₁a₅ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = (1 + l o g_{\sqrt{3}} a_{n}) \cdot a_{n}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知A≠ $\frac{π}{2}$ ，且3sinAcosB+ $\frac{1}{2}$ bsin2A=3sinC．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若A= $\frac{2 π}{3}$ ，求△ABC周长的最大值．

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19. 已知命题p：函数f（x）=x³+ax²+x在R上是增函数；命题q：若函数g（x）=e^x﹣x+a在区间[0，+∞）没有零点．

(1)、如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

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20. 已知向量 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ sinωx，1）， $\vec{n}$ =（cosωx，cos²ωx+1），设函数f（x）= $\vec{m} \cdot \vec{n} + b$ ．

(1)、若函数f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{6}$ 对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；

(2)、在（1）的条件下，当 $x \in [0 ， \frac{7 π}{12}]$ 时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

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21. 某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S₂ ，折叠后重合部分△ACP的面积为S₁ ．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S₂最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S₁+2S₂）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

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22. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax+b．

(1)、若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{x}$ 图象的切线，求a+b的最小值；

(3)、当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），求证：x₁x₂＞2e² ．
（取e为2.8，取ln2为0.7，取 $\sqrt{2}$ 为1.4）

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